已知函数F(X)=λ2的X次方-4的X次方,定义域为【1,3】 ⑴λ=6,求函数F(X)的值域;⑵若函数F(X)在区间【1,3】上是增函数,求实数λ的取值范围;

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 02:25:37

已知函数F(X)=λ2的X次方-4的X次方,定义域为【1,3】 ⑴λ=6,求函数F(X)的值域;⑵若函数F(X)在区间【1,3】上是增函数,求实数λ的取值范围;
已知函数F(X)=λ2的X次方-4的X次方,定义域为【1,3】 ⑴λ=6,求函数F(X)的值域;
⑵若函数F(X)在区间【1,3】上是增函数,求实数λ的取值范围;

已知函数F(X)=λ2的X次方-4的X次方,定义域为【1,3】 ⑴λ=6,求函数F(X)的值域;⑵若函数F(X)在区间【1,3】上是增函数,求实数λ的取值范围;
(1)
F(X)=λ2^X-4^X
=λ2^x-2^(2x)
设t=2^x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8]
λ=6时,
F(x)=-t²+6t=-(t-3)²+9
∴t=3时,函数取得最大值9
t=8时,函数取得最小值-16
∴函数值域为[-16,9]
(2)
F(x)=-t²+λt
当λ≤0时,y=-t²+λt在[2,8]上递减
原函数也递减,不符合题意
当λ>0时,
则需y=-t²+λt在[2,8]上递增
对称轴x=λ/2,则λ/2≥8
∴λ≥16
∴若函数F(X)在区间【1,3】上是增函数,
实数λ的取值范围是[16,+∞)