作业帮高三导函数题,3问
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:36:15
高三导函数题,3问
高三导函数题,3问
高三导函数题,3问
证明过程放在图片里了,我不太会调整图片,感觉有些小……
第三问分析：先
h（x）=x^3-x^2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x^2-x^3，最后令x=1/n ，即可证得结论．
对于函数f（x）=x^2-ln（x+1），令函数h（x）=x^3-f（x）=x^3-x^2+ln（x+1）
则h'(x)=3x^2-2x+1/(x+1) =3x^3+(x-1...
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第三问分析：先
h（x）=x^3-x^2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x^2-x^3，最后令x=1/n ，即可证得结论．
对于函数f（x）=x^2-ln（x+1），令函数h（x）=x^3-f（x）=x^3-x^2+ln（x+1）
则h'(x)=3x^2-2x+1/(x+1) =3x^3+(x-1)^2 / (x+1) ，
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x^2＜x^3+ln（x+1）恒成立．
取x=1/n ∈(0，+∞)，则有ln(1/n +1)＞1/n^2 -1/n^3 恒成立．
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln(1/n +1)＞1/n^2 -1/n^3 恒成立
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