作业帮设函数f(x)=aln(x+1)+x^2,其中,a≠01、若函数f（x）在定义域上只有一个极值点,求a的取值范围2、求证：ln（x+1）+1/（x^3）>lnx+1/(x^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:22:18
设函数f(x)=aln(x+1)+x^2,其中,a≠01、若函数f（x）在定义域上只有一个极值点,求a的取值范围2、求证：ln（x+1）+1/（x^3）>lnx+1/(x^2)
设函数f(x)=aln(x+1)+x^2,其中,a≠0
1、若函数f（x）在定义域上只有一个极值点,求a的取值范围
2、求证：ln（x+1）+1/（x^3）>lnx+1/(x^2)
设函数f(x)=aln(x+1)+x^2,其中,a≠01、若函数f（x）在定义域上只有一个极值点,求a的取值范围2、求证：ln（x+1）+1/（x^3）>lnx+1/(x^2)
1）显然函数定义域为 ｛x|x>-1｝.
f ' (x)=a/(x+1)+2x=(2x^2+2x+a)/(x+1) .
因为 f(x) 在 x>-1 时只有一个极值点,因此 f '(x)=0 在 （-1,+∞）上只有一个实根,
因为 2x^2+2x+a=2(x+1/2)^2+a-1/2 ,抛物线开口向上,对称轴 x=-1/2 ,
所以 2*(-1)^2+2*(-1)+a<=0 ,
解得 a<=0 .由于 a≠0 ,
因此,a的取值范围为 ｛a|a<0｝.
2）令 g(x)=ln(x+1)+1/x^3-lnx-1/x^2 (x>0) ,
则 g ' (x)=1/(x+1)-3/x^4-1/x+2/x^3=(-x^3+2x^2-x-3)/[(x+1)x^4] .
因为 x>0 ,所以 -x^3+2x^2-x-3=-x(x-1)^2-3<0 ,
则 g '(x)<0 ,所以,g(x) 在（0,+∞）上为减函数.
由于 x→+∞ 时,g(x)=ln(1+1/x)+(1-x)/x^3
第一问
定义域：x>-1,导数f'(x)=a/(x+1)+2x,令导数为0，化简得：x^2+x+a/2=0，因为有极点，所以△>0,得：
a<1/2……（1） 两根分别为：-1/2+[(1+2a)^1/2]/2恒大于-1/2，和-1/2-[(1+2a)^1/2]/2
要在定义域内只有一个极值点，则较小根要小于-1，即-1/2-[(1+2a)^1/2]/2<-1...
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第一问
定义域：x>-1,导数f'(x)=a/(x+1)+2x,令导数为0，化简得：x^2+x+a/2=0，因为有极点，所以△>0,得：
a<1/2……（1） 两根分别为：-1/2+[(1+2a)^1/2]/2恒大于-1/2，和-1/2-[(1+2a)^1/2]/2
要在定义域内只有一个极值点，则较小根要小于-1，即-1/2-[(1+2a)^1/2]/2<-1……（2）
（1）（2）式联立解出a<0
第二问应该是移到同一边，设成函数，再求导看单调性就行了
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