带根号函数求积分请问这个的积分如何求?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:50:06

带根号函数求积分请问这个的积分如何求?
带根号函数求积分

请问这个的积分如何求?

带根号函数求积分请问这个的积分如何求?
∵∫√（1－r^2）rdr
＝（1/2）∫√（1－r^2）d（r^2）＝－（1/2）∫√（1－r^2）d（1－r^2）
＝－（1/2）×（2/3）（1－r^2）^（3/2）＋C＝－（1/3）（1－r^2）^（3/2）＋C,
∴∫（上限为sinθ,下限为0）√（1－r^2）rdr
＝－（1/3）（1－r^2）^（3/2）｜（上限为sinθ,下限为0）
＝－（1/3）［1－（sinθ）^2］^（3/2）＋（1/3）［1－0^2］^（3/2）
＝（1/3）［1－（cosθ）^3］,
∴∫（上限为π/2,0）dθ∫（上限为sinθ,下限为0）√（1－r^2）rdr
＝（1/3）∫（上限为π/2,0）［1－（cosθ）^3］dθ,
∵∫［1－（cosθ）^3］dθ
＝∫dθ－∫（cosθ）^3］dθ＝θ－∫（cosθ）^2d（sinθ）＝θ－∫［1－（sinθ）^2］d（sinθ）
＝θ－∫d（sinθ）＋∫（sinθ）^2d（sinθ）＝θ－sinθ＋（1/3）（sinθ）^3＋C,
∴∫（上限为π/2,0）dθ∫（上限为sinθ,下限为0）√（1－r^2）rdr
＝（1/3）∫（上限为π/2,0）［1－（cosθ）^3］dθ
＝（1/3）［θ－sinθ＋（1/3）（sinθ）^3］｜（上限为π/2,0）
＝（1/3）｛π/2－sin（π/2）＋（1/3）［sin（π/2）］^3｝
　－（1/3）｛0－sin0＋（1/3）［sin0］^3｝
＝（1/3）（π/2－1＋1/3）
＝π/6－2/9.

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