作业帮对于圆锥曲线的解题的问题有这样一道题目：一个椭圆的的方程x^2/2+y^2=1,然后有两个在椭圆上的点,这两个点的斜率之积是-1/2,问这两个点的中点的轨迹方程.我的问题是,这道题的标准解法是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 12:00:40
对于圆锥曲线的解题的问题有这样一道题目：一个椭圆的的方程x^2/2+y^2=1,然后有两个在椭圆上的点,这两个点的斜率之积是-1/2,问这两个点的中点的轨迹方程.我的问题是,这道题的标准解法是
对于圆锥曲线的解题的问题
有这样一道题目：一个椭圆的的方程x^2/2+y^2=1,然后有两个在椭圆上的点,这两个点的斜率之积是-1/2,问这两个点的中点的轨迹方程.
我的问题是,这道题的标准解法是列了五个方程死解.但是在解题过程中,有一步是用到了“两个点的斜率之积是-1/2”这个-1/2数据的特殊性,如果要是把这个数据改一下,这一步就不适用了（会有x1*x2消不掉）.
这样的题目思路是什么?这道题的通用解法是什么?如果把这道题改成两个点的斜率之积是1,
对于圆锥曲线的解题的问题有这样一道题目：一个椭圆的的方程x^2/2+y^2=1,然后有两个在椭圆上的点,这两个点的斜率之积是-1/2,问这两个点的中点的轨迹方程.我的问题是,这道题的标准解法是
斜率：x+2yy'=0
y'=-x/(2y)
x1x2/(4y1y2)=k
x1^2/2+y1^2=1
x2^2/2+y2^2=1
问题是求解中心轨迹,我们容易想到作如下变换：
X1=(x1+x2)/2,Y1=(y1+y2)/2,X2=(x1-x2)/2,Y2=(y1-y2)/2.
则：
(X1+X2)^2/2+(Y1+Y2)^2=1 （1）
(X1-X2)^2/2+(Y1-Y2)^2=1 （2）
X1^2-X2^2=4k(Y1^2-Y2^2) （3）
问题简化为从三个方程消两个未知数X2、Y2.（这步就是通用解法）
X1^2+X2^2+2(Y1^2+Y2^2)=2
X1^2+2 Y1^2=2-(X2^2+2 Y2^2)
如果k=-1/2,那么X2^2+2 Y2^2=X1^2+2Y1^2直接代入即可.
如果其他情况,那还得再消一次.
X1^2+2Y1^2=2-[X1^2-4k(Y1^2-Y2^2)](4)
注意到这里希望消去Y2,注意到方程的特点
(X1+X2)^2 (X1-X2)^2/4=[1-(Y1+Y2)^2][1-(Y1-Y2)^2]
(X1^2-X2^2)^2=4[1-2(Y1^2+Y2^2)+(Y1^2-Y2^2)^2]
[4k(Y1^2-Y2^2)]^2=4[1-2(Y1^2+Y2^2)+(Y1^2-Y2^2)^2]
(4k^2-1)(Y1^2-Y2^2)^2=1-2(Y1^2+Y2^2)
这个方程容易解出Y2=f(Y1).
除非k=±1/2,否则这个就可能有两个解.
出题人当然一般都是选择特例来出题.
这题的通用解法就是：合理利用条件消元,至于何为合理,这个就需要你自己总结.