作业帮一个定积分和一个微分方程的题,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:36:49
一个定积分和一个微分方程的题,
一个定积分和一个微分方程的题,
一个定积分和一个微分方程的题,
1.计算定积分[0,3]∫arctan(√x)dx
令arctan(√x)=u,则√x=tanu,x=tan²u,dx=2tanusec²udu； x=0时u=0；
x=3时u=arctan(√3)=π/3；代入原式得：
原式=[0,π/3]∫2utanusec²udu=[0,π/3]∫ud(sec²u)=[usec²u-∫sec²udu]︱[0,π/3]
=[usec²u-tanu]︱[0,π/3]=(π/3)/(1/2)²-√3=(4π/3)-√3
2.求微分方程y′cotx-ycosx=2x(cotx)e^(-cosx)的通解
y′/tanx-ycosx=2x(cotx)e^(-cosx)
两边同乘以tanx得：y′-ysinx=2xe^(-cosx).(1)
为了求解方程(1),先考虑齐次线性方程dy/dx-ysinx=0.(2)
分离变量得dy/y-sinxdx=0
积分之得lny=-cosx+lnC₁,即得(2)的通y=C₁e^(-cosx)；
下面用参数变易法来求原方程(1)的解.这个方法就是就是将(2)的通解中的C₁换成x的函数u而令
y=ue^(-cosx).(3)
将(3)对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx.(3′)
将(3)和(3′)代入(1)式得：(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx-u[e^(-cosx)]sinx=2xe^(-cosx)
化简得(du/dx)e^(-cosx)-2xe^(-cosx)=0
[e^(-cosx)][du/dx-2x)=0,由于对任何x,e^(-cosx)≠0,故必有du/dx-2x=0,即有du=2xdx
积分之得u=x²,代入(3)式即得原方程的通解为：y=x²e^(-cosx)+C
高数问题建议多看几遍书
第一题的积分上限看不清楚 ，我没法帮你，不过我提示一下：
令t=sqrt(x), 换元后再后分布积分法就可以求得了。
第二题是先等式两边同除以cotx, 再直接利用一阶线性微分方程的公式得到的。你试试看
其中公式中P(x)=-sinx， Q(x)=2xe^(-cosx)
如果你还是没有理解，那就再联系我。很感谢你哈，积分上限是3，麻烦你可以给我个过程吗，第一题我按照...
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第一题的积分上限看不清楚 ，我没法帮你，不过我提示一下：
令t=sqrt(x), 换元后再后分布积分法就可以求得了。
第二题是先等式两边同除以cotx, 再直接利用一阶线性微分方程的公式得到的。你试试看
其中公式中P(x)=-sinx， Q(x)=2xe^(-cosx)
如果你还是没有理解，那就再联系我。
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看不清，不好意思