作业帮三棱锥S-ABC中,SA垂直底面ABC,AB=5,BC=13,SA=AC=12,求二面角（1）S-BC-A (2)A-SC-B (3)A-SB-C
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:34:52
三棱锥S-ABC中,SA垂直底面ABC,AB=5,BC=13,SA=AC=12,求二面角（1）S-BC-A (2)A-SC-B (3)A-SB-C
三棱锥S-ABC中,SA垂直底面ABC,AB=5,BC=13,SA=AC=12,求二面角（1）S-BC-A (2)A-SC-B (3)A-SB-C
三棱锥S-ABC中,SA垂直底面ABC,AB=5,BC=13,SA=AC=12,求二面角（1）S-BC-A (2)A-SC-B (3)A-SB-C
1.过A点做BC的垂线交BC于D点,连接SD,需证明SD垂直BC,则角SDA=二面角S-BC-A
在三角形ABC中,根据三角形面积公式有：
三角形ABC面积S=根号下[p（p-a）（p-b）（p-c）]=（1/2）*BC*AD
p=（1/2）*（a+b+c）.a,b,c为三角形边长
将已知条件带入,求得AD=60/13
因为SA垂直底面ABC,故三角形SAD为直角三角形,根据勾股定理求得求得AD=60/13
SD=（12/13）*根号下194
在直角三角形ABD中,根据勾股定理求得求得BD=25/13
在三角形SBD中,因为SB的平方+DB的平方=SD的平方,所以三角形SBD为直角三角形,SD垂直BC,则角SDA=二面角S-BC-A .
故在直角三角形SAD中,tan角SDA=13/5
角SDA=arctan13/5
2.过A点做SC的垂线交SC于E点,连接BE,需证明BE垂直SC,则角AEB=二面角A-SC-B.
因为SA垂直底面ABC,故三角形SAC,三角形SAB均为直角三角形,根据勾股定理求得：
SC=12*根号下2,
SB=13=BC,
故三角形SBC为等腰三角形,
又因为三角形SAC为等腰三角形,且AE垂直于SC,故BE也垂直于SC,
在直角三角形SAE和SBE中,根据勾股定理求得：AE=6*根号下2,BE=根号下97
在三角形ABE中,根据余弦定理求得：
cos角AEB=（73/1164）*根号下194,
角AEB=二面角A-SC-B =arccos[（73/1164）*根号下194]
3.过A点做SB的垂线交SB于F点,连接CE,需证明CF垂直SB,则角AFC=二面角A-SB-C.
在三角形SAB中,根据三角形面积公式有：
三角形SAB面积S=根高h号下[p（p-a）（p-b）（p-c）]=（1/2）*SB*AF
p=（1/2）*（a+b+c）.a,b,c为三角形边长
将已知条件带入,可求得AF.
在直角三角形SAF中,根据勾股定理可求得SF,
在三角形SBC中,三角形SBC面积
S=根号下[p（p-a）（p-b）（p-c）]=（1/2）*SB*高h,可求得高h.
在三角形SFC中可验证：
SC的平方-SF的平方=高h的平方,
所以CF即为SB边的高,角AFC=二面角A-SB-C,
在直角三角形SFC中,根据勾股定理可求得FC
在三角形AFC中,根据余弦定理求得角AFC的值.
用等积法可得