高二不等式(奥赛的)2设α+β+γ=兀.求证:对任意满足x+y+z=0的实数x,y,z有yz*)sin α)^2 + zy*(sin β)^2+xy*(sin γ)^2 ≤0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/21 09:00:37

高二不等式(奥赛的)2设α+β+γ=兀.求证:对任意满足x+y+z=0的实数x,y,z有yz*)sin α)^2 + zy*(sin β)^2+xy*(sin γ)^2 ≤0
高二不等式(奥赛的)2
设α+β+γ=兀.求证:对任意满足x+y+z=0的实数x,y,z有
yz*)sin α)^2 + zy*(sin β)^2+xy*(sin γ)^2 ≤0

高二不等式(奥赛的)2设α+β+γ=兀.求证:对任意满足x+y+z=0的实数x,y,z有yz*)sin α)^2 + zy*(sin β)^2+xy*(sin γ)^2 ≤0
即证yz+zx+xy=0.配方.上式左端=(x+ycosc+zcosb)^2+y^2+z^2-(ycosc+zcosb)^2+2yzcosa.而y^2+z^2-(ycosc+zcosb)^2+2yzcosa=(ysina)^2+(zsinb)^2+2yz(cos(b+c)-cosbcosc)=(ysinc-zsinb)^2.这里利用了a=2兀-b-c.
所以命题就成立了.
如果有兴趣,还可以看到等号成立的充要条件是x+ycosc+zcosb=0,ysinc=zsinb
进一步可以得到x/sina=y/sinb=z/sinc.

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