作业帮已知抛物线y=ax^2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 12:48:19
已知抛物线y=ax^2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在
已知抛物线y=ax^2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
已知抛物线y=ax^2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在
PS:第一题解在图中……
（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PAB=90°,
∵A（3,0）,B（4,1）,
∴AM=BM=1,
∴∠BAM=45°,
∴∠DAO=45°,
∴AO=DO,
∵A点坐标为（3,0）,
∴D点的坐标为：（0,3）,
∴直线AD解析式为：y=kx+b,将A,D分别代入得：
∴0=3k+b,b=3,
∴k=-1,
∴y=-x+3,
∴y=1/2x^2-2/5x+3=-x+3,
∴x 2-3x=0,
解得：x=0或3,
∴y=3或0（不合题意舍去）,
∴P点坐标为（0,3）,
∴点P、C、D重合,
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PBA=90°,
由（1）得,FB=4,∠FBA=45°,
∴∠DBF=45°,
∴DF=4,
∴D点坐标为：（0,5）,B点坐标为：（4,1）,
∴直线BD解析式为：y=kx+b,将B,D分别代入得：
∴1=4k+b,b=5,
∴k=-1,
∴y=-x+5,
∴y=1/2x^2-2/5x+3=-x+5,
∴x^2-3x-4=0,
解得：x1=-1,x2=4（舍）,
∴y=6,
∴P点坐标为（-1,6）,
∴点P的坐标为：（-1,6）,（0,3）；
（3）如图（2）：作EM⊥AO于M,
∵∠OAC=∠OAF,
∴AC⊥AF,
∵s△FEO=OE×OF,
OF最小时s△FEO最小,
∵OE⊥AC时OF最小,
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°,
∴MO=EM,
∵E在直线CA上,
∴E点坐标为（x,-x+3）,
∴x=-x+3,
解得：x=3/2,
∴E点坐标为（3/2,3/2）．
求什么呢？
把A（3，0），B（4，1）代入y=ax^2+bx+3可得
9a+3b+3=0
16a+4b+3=1
解得a=1/2
b=-5/2