设定积分f′(㏑t)dt上限x下限0等于㏑(1+x)且f(0)=0,求f(x)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 08:44:09

设定积分f′(㏑t)dt上限x下限0等于㏑(1+x)且f(0)=0,求f(x)
设定积分f′(㏑t)dt上限x下限0等于㏑(1+x)且f(0)=0,求f(x)

设定积分f′(㏑t)dt上限x下限0等于㏑(1+x)且f(0)=0,求f(x)
两边同时对x求导得,
f'(lnx)=1/(1+x)
令t=lnx,则x=e∧t
∴f'(t)=1/(1+e∧t)
两边积分,即
∫f'(t)=∫dt/(1+e∧t)
∴f(t)=∫d(e∧t)/[e∧t*(1+e∧t)]=∫d(e∧t)/(e∧t)-∫d(e∧t)/(1+e∧t)=t-ln(1+e∧t)+C
又因为f(0)=0,带入上式得C=ln2
∴f(x)=x-ln(1+e∧x)+ln2.
希望我帮到了你!