作业帮若矩形的长,宽,对角线的距离都是整数,求证：这个矩形的面积是12的倍数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 18:07:59
若矩形的长,宽,对角线的距离都是整数,求证：这个矩形的面积是12的倍数.
若矩形的长,宽,对角线的距离都是整数,求证：这个矩形的面积是12的倍数.
若矩形的长,宽,对角线的距离都是整数,求证：这个矩形的面积是12的倍数.
在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中,a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m+n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有一个除以3余0,则m和n中有一个必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述,S总能被12整除,所以这个矩形的面积必为12的倍数
长宽对角线为一对勾股数，而最小的一对正整数勾股数为3、4、5、设公比为x，那么宽为3x，长为4x，面积为12x平方，即12的倍数。过程：因为长宽对角线为一对勾股数。又因为最小的一对正整数勾股数为3、4、5。所以长为3n，宽为4n面积则为12n的平方，所以这个矩形的面积为的12倍数...
全部展开
长宽对角线为一对勾股数，而最小的一对正整数勾股数为3、4、5、设公比为x，那么宽为3x，长为4x，面积为12x平方，即12的倍数。过程：因为长宽对角线为一对勾股数。又因为最小的一对正整数勾股数为3、4、5。所以长为3n，宽为4n面积则为12n的平方，所以这个矩形的面积为的12倍数
收起
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
这个判断的依据是什么啊？