怎样求cos36（不用计算器）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:11:29

怎样求cos36（不用计算器）
怎样求cos36（不用计算器）

怎样求cos36（不用计算器）
构造图形法：
已知在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
利用等腰三角形及三角形内角和定理容易求得∠ABC=∠C=∠BDC=72°,
∠A=∠ABD=∠DBC=36°.
进一步,不难发现△ABC∽△BDC,于是有,
因此BC^2=CD·AB.
令AB=AC=1,BC=BD=AD=x,则CD=1-x,代入上式,得x^2=1-x,＝＞x=(√5-1)/2
根据同角的三角函数关系及18°与72°,36°与54°互余,可进一步求出这些角的三角函数值.
用余弦定理得cos∠DBC=(BC^2+BD^2-CD^2)/2*BC*BD
即有cos36°=[2x^2-(1-x)^2]/2x^2=(1+x)/2=(√5+1)/4
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倍角公式法：
将sin36°=cos54°两边分别用倍角公式展开得2sin18°cos18°=4(cos18°)^3-3cos18°,即2sin18°=4(cos18°)^2-3,也即4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,解得sin18°=(√5-1)/4.由二倍角余弦公式得cos36°=1-2(sin18°)^2=（√5+1)/4.

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