问几道数学分析题10道不定积分,一道微分中值定理,两道泰勒公式题,其他题都懂了，就差题号16的那道题了，做出来我看懂了就给最佳了

问几道数学分析题10道不定积分,一道微分中值定理,两道泰勒公式题,其他题都懂了，就差题号16的那道题了，做出来我看懂了就给最佳了
问几道数学分析题
10道不定积分,一道微分中值定理,两道泰勒公式题,
其他题都懂了，就差题号16的那道题了，做出来我看懂了就给最佳了

问几道数学分析题10道不定积分,一道微分中值定理,两道泰勒公式题,其他题都懂了，就差题号16的那道题了，做出来我看懂了就给最佳了
既然其他的LZ已搞定,我就说一下16题吧~
如果没见过类似的方法,这题的确很难.
设A满足f(b)=f(a)+(b-a)[f'(a)+f'(b)]/2-A(b-a)³/12.(把原来等式的f'''(ξ)换成A)
只要证明存在ξ∈(a,b)使得f'''(ξ)=A即可.
记F(x)=-f(x)+f(a)+(x-a)[f'(a)+f'(x)]/2-A(x-a)³/12.(这个辅助函数看似复杂,其实是把原来等式左右相减,再把b都换成x)
直接计算可得:
F'(x)=[f'(a)-f'(x)]/2+f''(x)(x-a)/2+A(x-a)² /4.
F''(x)=(x-a)(f'''(x)-A)/2.
显然F(a)=F'(a)=0,由A的取法可知F(b)=0.
F(a)=0=F(b),由Rolle定理可知存在c∈(a,b)使得F'(c)=0.
F'(a)=0=F'(c),由Rolle定理可知存在ξ∈(a,c)使得F''(ξ)=0.
ξ>a,故F''(ξ)=0 => f'''(ξ)=A.
令人意外的是,这种方法居然还有一定的一般性!有一类中值定理的问题都可用此法解决.

看不清

大家问问题至少说一下题目吧。 我就回答补充吧！一般不能直接趋于0解决，就要用到洛必达法则，这可是你第一学期最重要的公式，就算你以后还要用这法则

马克

还是自己写写吧，总写的出几道，写不出可以问问老师嘛

46.
f(x)=f''(0)x^2/2+f'''(ξ)x^3/6,ξ∈(-1,1)
f(1)-f(-1)=1-0=1≤f'''(ξ)/3
3≤f'''(ξ)
(9)
令I=∫sinxdx/(asinx+bcosx)=Ax+Bln|asinx+bcosx|+C
I'=sinx/(asinx+bcosx)=A+B(acosx-bsinx)
a...

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46.
f(x)=f''(0)x^2/2+f'''(ξ)x^3/6,ξ∈(-1,1)
f(1)-f(-1)=1-0=1≤f'''(ξ)/3
3≤f'''(ξ)
(9)
令I=∫sinxdx/(asinx+bcosx)=Ax+Bln|asinx+bcosx|+C
I'=sinx/(asinx+bcosx)=A+B(acosx-bsinx)
aA-bB=1,Ab+Ba=0
A=a/(a^2+b^2),B=-b/(a^2+b^2)
I=[ax-bln|asinx+bcosx|]/(a^2+b^2)+C

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飘过

这几道题目在数学分析习题集中都是有的，不定积分主要就是换元，前两个可以配一个cosX什么的，后两道题目典型的taylor展开，然后不等式简单估计这几道题就是武胜建的数学分析那本书上的习题，不过答案没有过程，你说的那本数学分析习题集是哪一本呢...

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这几道题目在数学分析习题集中都是有的，不定积分主要就是换元，前两个可以配一个cosX什么的，后两道题目典型的taylor展开，然后不等式简单估计

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撸过~

1
∫sinxdx/(asinx+bcosx)
=∫sinxdx/(√(a^2+b^2)sin(x+u)) cosu=a/√(a^2+b^2) sinu=b/√(a^2+b^2)
=∫[sin(x+u)cosu-cos(x+u)sinu]dx/√(a^2+b^2)sin(x+u)
=∫a/(a^2+b^2)dx -(b/(a^2+b^2))∫dsin(x+u...

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1
∫sinxdx/(asinx+bcosx)
=∫sinxdx/(√(a^2+b^2)sin(x+u)) cosu=a/√(a^2+b^2) sinu=b/√(a^2+b^2)
=∫[sin(x+u)cosu-cos(x+u)sinu]dx/√(a^2+b^2)sin(x+u)
=∫a/(a^2+b^2)dx -(b/(a^2+b^2))∫dsin(x+u)/sin(x+u)
=ax/(a^2+b^2)-(b/(a^2+b^2))ln|sin(x+arcsin(b/√(a^2+b^2))| +C
2
∫sinxdx/(sinx-cosx+2)
3
∫√[(2+x)/(2-x)]dx
x=2cosu dx=-2sinudu
=∫-2(1+cosu)sinudu/sinu
=-2∫(1+cosu)du
=-2u-2sinu+C
=-2arccos(x/2)-√(4-x^2)+C
4
∫dx/x√(x^2+x+1)
=∫dx/[x^2√(1+1/x+1/x^2)
=-∫d(1/x)/√[(1/2+1/x)^2+3/4]
=-∫d[(2/x+1)/√3]/√[(2/x+1)^2/3+1]
(2/x+1)/√3=u
=-∫du/√(u^2+1)
u=tanv du=secv^2dv
=-∫sevcvdv=-ln|secv+tanv|+C0=-ln|√(1+u^2)+u|+C0
=-ln|√(1+[(2/x+1)/√3]^2 +(2/x+1)/√3|+C0
=-ln|√(4+4/x^2+4/x)+(2/x+1)| +C1
5
∫dx/[x+√(x^2+x+1)]
6
∫dx/[x√(4-x^2)
=(-1/2)∫d(2/x)/√[(2/x)^2-1]
2/x=secu d(2/x)=secutanudu
=(-1/2)∫secudu
=(-1/2)sinu+C=(-1/2)√[1-(x/2)^2]+C
=(-1/4)√(4-x^2)+C
7
∫[(2-x)^(1/3)/(2+x)^(1/3)]dx/(2-x)^2
=∫[(2+x)/(2-x)]^(-1/3)dx/(2-x)^2
=∫[4/(2-x)-1]^(-1/3)d(1/(2-x))
=(1/4)*(2/3)[4/(2-x)-1]^(2/3)+C
=(1/6)[4/(2-x)-1]^(2/3)+C
8
∫dx/[(x+1)+√(x^2+4x+5)]
9
∫√[(1-x)/(1+x)]dx
x=cosu dx=-sinudu
=∫(1-cosu)(-sinu)du/sinu
=∫(cosu-1)du
=sinu-u+C
=√(1-x^2)-arccosx+C
10
∫√tanxdx
√tanx=u x=arctanu^2 dx=2udu/(1+u^4)
=∫2u^2du/(1+u^4)
=∫2u^2du/[(1+u^2+√2u)(1+u^2-√2u)]
=(1/√2)[∫udu/(1+u^2-√2u) -∫udu/(1+u^2+√2u)]
=(1/2√2)ln[|1+u^2-√2u|/|1+u^2+√2u| ] +(1/2)[∫du/(1+u^2-√2u)-∫du/(1+u^2+√2u)
=(1/2√2)ln|1+u^2-√2u|/|1+u^2+√2u| +(1/2)∫d(u-√2/2)/[(u-√2/2)^2+1/2] -(1/2)∫d(u+√2/2)/[(u+√2/2)^2+1/2]
=(1/2√2)ln|1+tanx-√(2tanx)|/|1+tanx-√(2tanx)| +(√2/2)[arctan(√(2tanx)-1)-artan(√(2tanx)+1) +C

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做到脖子都僵了。。。

收起

等我做出来了告诉你