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一、\x09计算
1．\x09四则混合运算繁分数
⑴\x09运算顺序
⑵\x09分数、小数混合运算技巧
一般而言：
①\x09加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式；
②\x09乘除运算中,统一以分数形式.
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
2．\x09简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
⑷提取公因数
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
①\x09运算定律的综合运用
②\x09连减的性质
③\x09连除的性质
④\x09同级运算移项的性质
⑤\x09增减括号的性质
⑥\x09变式提取公因数
形如：
3．\x09估算
求某式的整数部分：扩缩法
4．\x09比较大小
①\x09通分
a.\x09通分母
b.\x09通分子
②\x09跟“中介”比
③\x09利用倒数性质
若 ,则c>b>a..形如： ,则 .
5．\x09定义新运算
6．\x09特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
二、\x09数论
1．\x09奇偶性问题
奇 奇=偶 奇×奇=奇
奇 偶=奇 奇×偶=偶
偶 偶=偶 偶×偶=偶
2．\x09位值原则
形如： =100a+10b+c
3．\x09数的整除特征：
整除数\x09特 征
2\x09末尾是0、2、4、6、8
3\x09各数位上数字的和是3的倍数
5\x09末尾是0或5
9\x09各数位上数字的和是9的倍数
11\x09奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
4和25\x09末两位数是4（或25）的倍数
8和125\x09末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13\x09末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
4．\x09整除性质
①\x09如果c|a、c|b,那么c|(a b).
②\x09如果bc|a,那么b|a,c|a.
③\x09如果b|a,c|a,且（b,c）=1,那么bc|a.
④\x09如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤\x09a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除.
5．\x09带余除法
一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r,0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时,我们称a能被b整除.
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n= p1 × p2 ×...×pk
7.\x09约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)
n的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）
8.\x09同余定理
① 同余定义：若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除.
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和.
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差.
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积.
9．完全平方数性质
①平方差： A -B =（A+B）（A-B）,其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性.
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数.
约数个数为3的是质数的平方.
③质因数分把数字分解,使他满足积是平方数.
④平方和.
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
三、\x09几何图形
1．\x09平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
①\x09三角形内等底等高的三角形
②\x09平行线内等底等高的三角形
③\x09公共部分的传递性
④\x09极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）

① ; S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
⑹差不变原理

知5-2=3,则圆点比方点多3.
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系.
⑻组合图形的思考方法
①\x09化整为零
②\x09先补后去
③\x09正反结合
2．\x09立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系.
四、\x09典型应用题
1．\x09植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2．\x09方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3．\x09列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4．\x09年龄问题
差不变原理
5．\x09鸡兔同笼
假设法的解题思想
6．\x09牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7．\x09平均数问题
8．\x09盈亏问题
分析差量关系
9．\x09和差问题
10．\x09和倍问题
11．\x09差倍问题
12．\x09逆推问题
还原法,从结果入手
13．\x09代换问题
列表消元法
等价条件代换
五、\x09行程问题
1．\x09相遇问题
路程和=速度和×相遇时间
2．\x09追及问题
路程差=速度差×追及时间
3．\x09流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
4．\x09多次相遇
线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
5．\x09环形跑道
6．\x09行程问题中正反比例关系的应用
路程一定,速度和时间成反比.
速度一定,路程和时间成正比.
时间一定,路程和速度成正比.
7．\x09钟面上的追及问题.
①\x09 时针和分针成直线；
②\x09时针和分针成直角.
8．\x09结合分数、工程、和差问题的一些类型.
9．\x09行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法.
六、\x09计数问题
1．\x09加法原理：分类枚举
2．\x09乘法原理：排列组合
3．\x09容斥原理：
①\x09总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
②\x09常用：总数量=A+B-AB
4．\x09抽屉原理：
至多至少问题
5．\x09握手问题
在图形计数中应用广泛
①\x09角、线段、三角形,
②\x09长方形、梯形、平行四边形
③\x09正方形
七、\x09分数问题
1．\x09量率对应
2．\x09以不变量为“1”
3．\x09利润问题
4．\x09浓度问题
倒三角原理
例：
5．\x09工程问题
① 合作问题
②\x09水池进出水问题
6．\x09按比例分配
八、\x09方程解题
1．\x09等量关系
①\x09 相关联量的表示法
例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3
x 100-x 3x x
②解方程技巧
恒等变形
2．\x09二元一次方程组的求解
代入法、消元法
3．\x09不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
4．\x09不等方程的分析求解
九、\x09找规律
⑴周期性问题
①\x09年月日、星期几问题
②\x09余数的应用
⑵数列问题
①\x09等差数列
通项公式 an=a1+(n-1)d
求项数： n=
求和： S=
②\x09等比数列
求和： S=