请问如何证明不存在七条边的多面体?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 02:59:38

请问如何证明不存在七条边的多面体?
请问如何证明不存在七条边的多面体?

请问如何证明不存在七条边的多面体?
如果有7条边,所有顶点的度数是2*7=14度,而多面体每个顶点至少要3度,所以顶点数只能是4个,这四个点即使两两相连,至多只有c(4,2)=6条边,矛盾.

不存在？

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（直观的理解，最简单的多面体是4面体，有6条棱。那么第7条棱能放到哪里去呢？下面给出严格的证明）
首先可以证明这个多面体不存在一个4边形及多于4边形的面。
假设存在一个4边形面，由于4边形有4个顶点，这4个顶点肯定与其它顶点有棱相连，那么至少就有4条棱，加上原来4边形的4条边，那么这个多面体就至少有8条棱了，所以不存在4边形的面。4条边以上的面也不可能存在，证法和4边形面类似。因此，只能全是3角形的面。
设多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f。一个封闭的全是3角面的多面体，由于每个面有3条棱，而每条棱为2个面所共有，则3f=2e，得f-e=(-1/3)e，代入欧拉公式f+v-e=2得v-(1/3)e=2，e=7时解得v不是整数，因而不可能。

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