作业帮高阶微分方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 23:58:14
高阶微分方程
高阶微分方程
高阶微分方程
1）记p=dy/dx,那么d²y/dx²=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy,代回原式得到：
y³(pdp/dy)+1=0
分离变量得到：pdp=-dy/y³
两侧积分整理得到：p²=1/y²+C
代入初始条件y(1)=1和y'(1)=0解得常数C：0²=1/1²+C
解得C=-1
所以dy/dx=p=±√[(1/y²)-1]=±[√(1-y²)]/y
再次分离变量得到：ydy/√(1-y²)=±dx
积分得到：√(1-y²)=±x+D
代入初始条件y(1)=1解得常数D：D=±1（与x的系数异号）
得到结果：√(1-y²)=±(x-1)
整理：(x-1)²+y²=1
2）记p=dy/dx,那么d²y/dx²=dp/dx,代回原式得到：
xdp/dx=p-xp²
整理得到：dp/dx-(p/x)=-p²
注意观察此方程为p关于x的伯努利方程,记z=1/p,那么dp/dx=(dp/dz)(dz/dx)=(-1/z²)(dz/dx),代入上式得到：
(-1/z²)(dz/dx)-(1/xz)=-1/z²
整理得到：(dz/dx)+(z/x)=1
显然该方程是一个一阶线性微分方程,直接套公式得到：
dx/dy=1/p=z=(x²+C)/(2x)
分离变量得到：2xdx/(x²+C)=dy
两侧积分得到：ln(x²+C)=y+D【C和D均为常数】