作业帮一个长方形,两条边和对角线都是整数,怎么证明长方形的面积是12的倍数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:40:33
一个长方形,两条边和对角线都是整数,怎么证明长方形的面积是12的倍数?
一个长方形,两条边和对角线都是整数,怎么证明长方形的面积是12的倍数?
一个长方形,两条边和对角线都是整数,怎么证明长方形的面积是12的倍数?
两条边和对角线都是整数,
即两条边和对角线分别是a,b,c,
a^2+b^2=c^2,且a,b,c为整数
按勾股定理,3^2+4^2=5^2,
所以a,b必定是3,4的倍数,
即面积a*b是12的倍数
我的确不知道方法怎么写
但是我可以给你思路：
你想通过对角线吧长方形分成了两个直角三角形
因为对角线为整数，那么这个直角三角形最接单的比例为3X:4X:5X
也就是说对角线为5X两边为3X和4X
那么它的面积始终为12X平方，这样不是12的倍数了吗？？...
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我的确不知道方法怎么写
但是我可以给你思路：
你想通过对角线吧长方形分成了两个直角三角形
因为对角线为整数，那么这个直角三角形最接单的比例为3X:4X:5X
也就是说对角线为5X两边为3X和4X
那么它的面积始终为12X平方，这样不是12的倍数了吗？？
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3²+4²=5²,6²+8²=10²
4=(3²-1)/2,5=(3²+1)/2
5²+12²=13²,10²+24²=26²
..............
7²+24²=25²,14²+...
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3²+4²=5²,6²+8²=10²
4=(3²-1)/2,5=(3²+1)/2
5²+12²=13²,10²+24²=26²
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7²+24²=25²,14²+48²=25²
..................
.........
每种情况的后面一个是前面的倍数是一样的,不讨论后面那种,只需证明前面的是12的倍数就可以了设,其中一条边为2n+1(n∈N*)
那么(2n+1)²+{[(2n+1)²-1]/2}²={[(2n+1)²+1]/2}
另一条边是2n²+2n
面积s=(2n+1)(2n²+2n)=2n(n+1)(2n+1)
即证明2n(n+1)(2n+1)为12的倍数
n(n+1)(2n+1)/6为1²+2²+3²+4²...........+n²的和
所以n(n+1)(2n+1)/6为整数
s=2n(n+1)(2n+1)=12*[n(n+1)(2n+1)/6]为12乘以整数,所以是12的倍数
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在矩形中，长宽以及对角线都是整数意味着，在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中，a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同，即m≡n(mod 3)，则m-n...
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在矩形中，长宽以及对角线都是整数意味着，在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中，a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同，即m≡n(mod 3)，则m-n必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分别除以3后，余数之和为3或0，则(m+n)必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有一个除以3余0，则m和n中有一个必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述，S总能被12整除，所以这个矩形的面积必为12的倍数
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