作业帮已知直角三角形的周长为l,求这个三角形的面积的最大值,并求此时各边长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 16:02:57
已知直角三角形的周长为l,求这个三角形的面积的最大值,并求此时各边长.
已知直角三角形的周长为l,求这个三角形的面积的最大值,并求此时各边长.
已知直角三角形的周长为l,求这个三角形的面积的最大值,并求此时各边长.
设该三角形边长分别为a,b,c.其中c为斜边.
已知：a+b+c=l
勾股定理a^2+b^2=c^2
面积s=1/2*a*b 要想使s最大,就要使a×b达到最大值.
因为a^2+b^2>=2ab,当a=b时(说明为等腰直角三角形时）,ab取最大值,即ab＝（a^2+b^2)/2=c^2/2
所以max s=c^2/4
又因为a+b+c=l,a=b,c=根号2×a,整理得,c=根号2*l/(2+根号2)
则s的最大值为l^2/(12+8*根号2)
设三角形三边为abc。c为斜边
有a+b+c=1
且a^2+b^2=c^2
三角形面积s=ab/2
联立两等式有2ab=2a+2b-1
之后可以猜想当a=b时，面积最大，
此时a=b=1-1/√2，c=√2-1
s=（3-√2）/4
设直角边边长分别为a,b斜边长为c
则c^2=a^2+b^2
a+b+c=L
有√(a^2+b^2)+a+b=L
而√(a^2+b^2)>=√(2√a^2b^2)=√2ab
a+b>=2√ab
所以L>=√2ab+2√ab
即L>=(√2+2)√ab
有ab<=L^2/(6+4√2)=(3-√2）L^2/2
当且仅当...
全部展开
设直角边边长分别为a,b斜边长为c
则c^2=a^2+b^2
a+b+c=L
有√(a^2+b^2)+a+b=L
而√(a^2+b^2)>=√(2√a^2b^2)=√2ab
a+b>=2√ab
所以L>=√2ab+2√ab
即L>=(√2+2)√ab
有ab<=L^2/(6+4√2)=(3-√2）L^2/2
当且仅当a=b时取等
S=ab/2最大为(3-√2）L^2/4
此时该直角三角形为等腰直角三角形
c=√2a
2a+√2a=L
解得a=(1-√2/2)L,b=(1-√2/2)L,c=(√2-1)L
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