作业帮设a>b>0,p1,p2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上2个不同点,P在以线段p1p2为直径的圆上,求证|OP≤|√(a^2+b^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 04:33:05
设a>b>0,p1,p2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上2个不同点,P在以线段p1p2为直径的圆上,求证|OP≤|√(a^2+b^2)
设a>b>0,p1,p2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上2个不同点,P在以线段p1p2为直径的圆上,求证|OP≤|√(a^2+b^2)
设a>b>0,p1,p2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上2个不同点,P在以线段p1p2为直径的圆上,求证|OP≤|√(a^2+b^2)
Well,a question with no award...It's OK anyway
首先,需要先转化问题为更直接的形式：
令p1(x1,y1)=(a*cosθ,b*sinθ),p2(x2,y2)=(a*cosφ,b*sinφ),p1和p2的中点为M,
作图后,由三角关系我们可以得到
|op|≤|oM|+|Mp|,
因此只需要证明|oM|+|Mp|≤|√(a^2+b^2),
|oM|+|Mp|=1/2*√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}+1/2*√{(x1+x2)^2+(y1+y2)^2}
由和差化积公式:
x1-x2=-2a*sin(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2
y1-y2=2b*cos(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2
x1+x2=2a*cos(θ+φ)/2*cos(θ-φ)/2
y1+y2=2b*sin(θ+φ)/2*soc(θ-φ)/2
代入上式可得：
|oM|+|Mp|=√{(a*sin(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2)^2+(b*cos(θ+φ)/2*sin(θ-φ)/2)^2}
+√{(a*cos(θ+φ)/2*cos(θ-φ)/2)^2+(b*sin(θ+φ)/2*soc(θ-φ)/2)^2}
=sin(θ-φ)/2*√{a^2*(sin(θ+φ)/2)^2+b^2*(cos(θ+φ)/2)^2}+
cos(θ-φ)/2*√{a^2*(cos(θ+φ)/2)^2+b^2*(sin(θ+φ)/2)^2}
注意到上式最后的表达式中,两项后面根号中的代数式之和为√{a^2+b^2}
因此,存在参数α,使其变为：
|oM|+|Mp|=sin(θ-φ)/2*√{a^2+b^2}*cosα+cos(θ-φ)/2*√{a^2+b^2}*sinα
=√{a^2+b^2}*sin((θ-φ)/2+α)
≤√{a^2+b^2}.
所以
|op|≤|oM|+|Mp|≤√{a^2+b^2}.
根号下的式子,我统一用√{...}表示了
也可以用图形方法证,稍微繁复一些,有兴趣可以M我