在正四面体ABCD中,MN是连接AD中点与△BCD中心的线段,PQ是连接CD中点与△ABC中心的线段求MN与PQ所成角的余弦值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 16:03:17

在正四面体ABCD中,MN是连接AD中点与△BCD中心的线段,PQ是连接CD中点与△ABC中心的线段求MN与PQ所成角的余弦值
在正四面体ABCD中,MN是连接AD中点与△BCD中心的线段,PQ是连接CD中点与△ABC中心的线段
求MN与PQ所成角的余弦值

在正四面体ABCD中,MN是连接AD中点与△BCD中心的线段,PQ是连接CD中点与△ABC中心的线段求MN与PQ所成角的余弦值
可以做平行线的方法,比较麻烦,例如过Q点做MN的平行线交AD于E点,连EP,计算EPQ各边的长,自己算算试试.
另外就是用坐标计算,简单一些,建立直角坐标系,设立各定点坐标,例如
A(0,0,2√2)
B(-1,√3,0)
C(-1,-√3,0)
D(2,0,0)
则M（1,0,√2）
N（0,0,0）
P(1/2,-√3/2,0)
Q(-2/3,0,2√2/3)
其中,-√3/2是负根号三除以2,其他类似
向量MN=（-1,0,-√2）
向量PQ=（-7/6,√3/2,2√2/3）
cosα=（向量MN·向量PQ）/（向量MN的模*向量PQ的模）= -1/18
考虑的是两个线段的夹角而不是向量夹角,所以余弦值为1/18

MN与PQ所成角的余弦值是：
1/18过程呢构造法。将正四面体放于正方体中（即正四面体是正方体的六条面对角线构成的），再用坐标法通过建立空间直角坐标系（不妨设正方体棱长为1），将问题转化为求空间向量的夹角，便可简单得出答案。你试试吧，祝你成功！！...

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MN与PQ所成角的余弦值是：
1/18

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