方程x的3次方-3x+c=0在区间(0,1)内有唯一的实根 ,求c的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/19 14:29:23

方程x的3次方-3x+c=0在区间(0,1)内有唯一的实根 ,求c的取值范围
方程x的3次方-3x+c=0在区间(0,1)内有唯一的实根 ,求c的取值范围

方程x的3次方-3x+c=0在区间(0,1)内有唯一的实根 ,求c的取值范围
题意等价于c=3x-x³在区间(0,1)内有唯一的实根
令f(x)=c g(x)=3x-x³
题意等价于f(x)和g(x)在x∈(0,1)上有交点
g(x)导数为3-3x² 易知其在x∈(0,1)上大于0
所以 g(x)=3x-x³在x∈(0,1)上递增
所以g(x)值域为(0,2)
所以当f(x)=c在x∈(0,2)与g(x)有交点
所以c的取值范围为(0,2)

结论:(0,2)

  1. 设f(x)=x^3-3x+c

  2. f'(x)=3x^2-3=3((x+1)(x-1)

    当0<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减

  3. 由(2) 和零点定理f(x)=0在区间(0,1)内有唯一的实根的充要条件是

    f(0)f(1)=c(c-2)<0   解得 0<c<2  得解。

     

     

    不明白可追问。
    希望能对你有点帮助!

      

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