作业帮(3/3)若h1=2,二面角A-A1C1-B等于45度,求直线OP与平面A1BP所成的角.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/18 01:03:35
(3/3)若h1=2,二面角A-A1C1-B等于45度,求直线OP与平面A1BP所成的角.
(3/3)若h1=2,二面角A-A1C1-B等于45度,求直线OP与平面A1BP所成的角.
(3/3)若h1=2,二面角A-A1C1-B等于45度,求直线OP与平面A1BP所成的角.
在直角三角形ABC中,角ABC=60度,BC=BA=2,分别过A,C作平面ABC的垂线AA1和CC1,AA1=h1,CC1=h2,且h1>h2,连结A1C和AC1交于点P.(1)设点M为BC中点,求证：直线PM与平面A1AB不平行.(2)设O为AC的中点,若h1=2,二面角A-A1C1-B等于45度,求直线OP与平面A1BP所成的角.
角ABC应为90度
(1)证明：∵在多面体A1C1-ABC中,底面ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°
BA=BC=2；A1A⊥面ABC,C1C⊥面ABC,AA1=h1,CC1=h2,且h1>h2,A1C和AC1交于点P,点M为BC中点
∴A1A//C1C==>⊿A1AP∽⊿C1CP==>A1P/PC=A1A/C1C=h1/h2>1
∴A1P>PC,即P不A1C中点
∴PM与A1B不平行
又PM与AB,PM与AA1为异面直线
∴PM与面AA1B不平行
(2)解析：∵O为AC的中点,h1=2,二面角A-A1C1-B等于45度
过B作BE⊥底面ABC
建立以B为原点,以BC方向为X轴,以BA方向为Y轴,以BE方向为Z轴正方向的空间直角坐标系B-xyz
则点坐标：B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A1(0,2,2)
设C1(2,0,z)
向量BC1=(2,0,z),向量BA1=(0,2,2)
设向量n=(a,b,c)为面A1BC1的一个法向量
则2a+zc=0；2b+2c=0
令b=1,则c=-1,a=z/2
∴向量n=(z/2,1,-1)==>| 向量n|=√(z^2/4+2)
向量AA1=(0,0,2),向量AC1=(2,-2,z)
设向量m=(a,b,c)为面AA1C1的一个法向量
则2c=0；2a-2b+zc=0
令b=1,则a=1
∴向量m=(1,1,0)==>| 向量m|=√2
向量n*向量m=z/2+1
Cos=向量n*向量m/(|向量n|*|向量m|)=(z/2+1)/[ √(z^2/4+2)* √2]= √2/2
解得z=1
∴C1(2,0,1)
由(1)知A1P/PC=2==>P(4/3,2/3,2/3)
∵O(1,1,0)
∴向量OP=(1/3,-1/3,2/3)==>| 向量OP|=√6/3
向量BA1=(0,2,2),向量BP=(4/3,2/3,2/3)
设向量t=(a,b,c)为面A1BP的一个法向量
则2b+2c=0；4/3a+2/3b+2/3c=0
令b=1,则c=-1,a=0
∴向量t=(0,1,-1)==>| 向量t|=√2
向量OP*向量t=-1/3-2/3=-1
Cos=向量OP*向量t/(|向量OP|*|向量t|)=(-1)/[ √6/3* √2]=-√3/2
∴直线OP与平面A1BP所成的角为30°