证明a的平方加a乘以b加b的平方等于二倍c的平方是否有整数解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 14:18:26

证明a的平方加a乘以b加b的平方等于二倍c的平方是否有整数解
证明a的平方加a乘以b加b的平方等于二倍c的平方是否有整数解

证明a的平方加a乘以b加b的平方等于二倍c的平方是否有整数解
只有一组解,就是a＝b＝c＝0.证明如下：
当a＝b＝c＝0时,原方程成立,∴a＝b＝c＝0是原方程的解.
当它们不为0时,
∵a^2＋ab＋b^2＝2c^2,
因为：偶数×偶数＝偶数,奇数×奇数＝奇数.
所以：a、b必须同为偶数.否则：
①当a、b一者为偶数,另一者为奇数时,左边一定是奇数,而右边是偶数.
②当a、b都为奇数时,左边的三项都是奇数,和不可能是偶数,而右边却是偶数.
当a、b同为偶数时,不失一般性地设a＝2m,b＝2n,得：4m^2＋4mn＋4n^2＝2c^2,
∴2m^2＋2mn＋2n^2＝c^2,这时左边是偶数,所以右边必为偶数,设c＝2k,得：
2m^2＋2mn＋2n^2＝4k^2,∴m^2＋mn＋n^2＝2k^2.
这又回复到原方程的形式,意味着a、b、c永远都是偶数的偶数倍.
可是,任何的偶数都能表示成某奇数的偶数倍.
矛盾的产生,说明a、b同为偶数的假设是错误的.
a、b不能同奇同偶,也不能一奇一偶,即表明不能是0以外的其它整数.
∴原方程没有非零整数解.

有啊如
a=b=c=0

a^2+ab+b^2=2c^2
(a+b)^2=2c^2+ab

有整数解，a=b=c=0

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