作业帮在1*1的正方形网络中只有一个边长为1的正方形,在2*2的正方形中有一个边长为2的正方形和4个边长为1的正方形……问n边型有机个正方体!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 05:54:52
在1*1的正方形网络中只有一个边长为1的正方形,在2*2的正方形中有一个边长为2的正方形和4个边长为1的正方形……问n边型有机个正方体!
在1*1的正方形网络中只有一个边长为1的正方形,在2*2的正方形中有一个边长为2的正方形和4个边长为1的正方形……问n边型有机个正方体!
在1*1的正方形网络中只有一个边长为1的正方形,在2*2的正方形中有一个边长为2的正方形和4个边长为1的正方形……问n边型有机个正方体!
可以直接“数”正方形“左上角顶点”的个数来完成.在n×n正方形网络中.
边长n的正方形的“左上角顶点”只有一个,即原图左上角顶点……共1²个
边长﹙n-1﹚的正方形的“左上角顶点”,正好是原图左上角1×1正方形的4个格点……共2²个
边长﹙n-2﹚的正方形的“左上角顶点”,正好是原图左上角2×2正方形的3²个格点……共3²个
边长﹙n-3﹚的正方形的“左上角顶点”,正好是原图左上角3×3正方形的4²个格点……共4²个
…………………………………………………………………………………………………………
边长2的正方形的“左上角顶点”,正好是原图左上角﹙n-2﹚×﹙n-2﹚正方形的﹙n-1﹚²个格点……共﹙n-1﹚²个
边长1的正方形的“左上角顶点”,正好是原图左上角﹙n-1﹚×﹙n-1﹚正方形的n²个格点
……共n²个
∴共有1²+2²+……+n²＝n﹙n+1﹚﹙2n+1﹚/6 个正方形.
请问题目最后的三个字是“正方形”还是“正方体”？
0个
共有1^2+2^2+3^2+……+（N-1）^2+N^2=n(n+1)(2n+1)/6个正方形。
证明：设边长为N时，正方形个数为F（N）。
F（1）=1=1*2*3/6。
当N=K时，有
F（K）=K*（K+ 1）（2K+1），
当N=K+1时，
K+1边形比K边形多出边长为1的正方形2K+1个，边长为2的正方形多出2（K-1）+1个，
边...
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共有1^2+2^2+3^2+……+（N-1）^2+N^2=n(n+1)(2n+1)/6个正方形。
证明：设边长为N时，正方形个数为F（N）。
F（1）=1=1*2*3/6。
当N=K时，有
F（K）=K*（K+ 1）（2K+1），
当N=K+1时，
K+1边形比K边形多出边长为1的正方形2K+1个，边长为2的正方形多出2（K-1）+1个，
边长为M的正方形多出2（K+1-M）+1个，边长为K的正方形多出2（K+1-K）+1个，边长为K+1的正方形多出1个
F（K+1）=F（K）+（2K+1）+[2（K-1）+1]+……+[2（K+1-M）+1]+……+[2（K+1-K）+1]+1
=F（K）+∑[2（K+1-M）+1]{1<=M<=K+1}
=F（K）+(2K+3)*(K+1)-2∑M{1<=M<=K+1}
=K(K+1)(2K+1)/6+(2K+3)(K+1)-(K+1)(K+2)
=(K+1)(K+2)(2K+3)/6
=∑(M^2){1<=M<=K+1}
即正方形个数为个数为1^2+2^2+3^2+……+（N-1）^2+N^2
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