作业帮如图,已知直线PA交圆O于A 、B,角PAO的角平分线角圆O于点C,过C作CD⊥PA于D.【1】求证；CD为圆O的切线【2】 若DC＋DA=12,圆O 的半径为10,求弦AB的长度
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 06:37:26
如图,已知直线PA交圆O于A 、B,角PAO的角平分线角圆O于点C,过C作CD⊥PA于D.【1】求证；CD为圆O的切线【2】 若DC＋DA=12,圆O 的半径为10,求弦AB的长度
如图,已知直线PA交圆O于A 、B,角PAO的角平分线角圆O于点C,过C作CD⊥PA于D.
【1】求证；CD为圆O的切线
【2】 若DC＋DA=12,圆O 的半径为10,求弦AB的长度
如图,已知直线PA交圆O于A 、B,角PAO的角平分线角圆O于点C,过C作CD⊥PA于D.【1】求证；CD为圆O的切线【2】 若DC＋DA=12,圆O 的半径为10,求弦AB的长度
连接OC
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAO
∴∠DAC=∠OAC
∵CD⊥PA
∴∠DCA+∠DAC=90°
∴∠DCA+∠OCA=90°
即∠OCD=90°
∴OC⊥CD
CD为圆O的切线
2、过O作0F⊥AB,垂足为F,
所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°,
所以四边形OCDF为矩形,
所以OC=FD,OF=CD,
∵DC+DA=12,
设AD=x,则OF=CD=12-x,
∵⊙O的半径为10,
∴DF=OC=10,
∴AF=10-x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF²+OF²=OA²
即,(10-X)²+(12-X)²=10²
化简得：x2-22x+72=0
解得x=4或x=18,
由AD＜DF,知0＜x＜10,故x=4,
从而AD=4,AF=10-4=6,
∵OF⊥AB,
由垂径定理知,F为AB的中点,
∴AB=2AF=12.
1. 连接CO，因为CO=AO=半径，所以角OCA=OAC，又由角平分线有角OCA=OAC=PAC，即CO//AB，所以CO垂直于CD，所以CD为切线
2. 过O作OE垂直于AB，所以AO^2=AE^2+OE^2，已证OC垂直于CD，又CD垂直于DE，DE垂直于OE，所以OCDE为矩形，所以AO^2=AE^2+OE^2=(r-AD)^2+CD^2
因此可列出方程组：
DC＋...
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1. 连接CO，因为CO=AO=半径，所以角OCA=OAC，又由角平分线有角OCA=OAC=PAC，即CO//AB，所以CO垂直于CD，所以CD为切线
2. 过O作OE垂直于AB，所以AO^2=AE^2+OE^2，已证OC垂直于CD，又CD垂直于DE，DE垂直于OE，所以OCDE为矩形，所以AO^2=AE^2+OE^2=(r-AD)^2+CD^2
因此可列出方程组：
DC＋DA=12
100=(10-DA)^2+DC^2
即100=(10-DA)^2+(12-DA)^2
解得DA=4，DC=8
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