作业帮已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8,就f(x)的解析式f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4这个式子是怎么得来的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 20:14:48
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8,就f(x)的解析式f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4这个式子是怎么得来的
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8,就f(x)的解析式
f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4
这个式子是怎么得来的
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8,就f(x)的解析式f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4这个式子是怎么得来的
令t=2-x,则x=2-t,代入方程得
f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4
则f(2-x)=2f(x)-x^2-4x+4,
代入得f(x)=2[2f(x)-x^2-4x+4]-x^2+8x-8
则f(x)=x^2
函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8
所以函数F(X)应该是二次函数
设F(X)=AX^2+BX+C
则F(2-X)=A(2-X)^2+B(2-X)+C=4A^2-4AX+AX^2+2B-BX+C
显然如果F(X)不是二次函数,f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8一定不成立.
又 AX^2+BX+C=2(A(2-X)^2+...
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函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8
所以函数F(X)应该是二次函数
设F(X)=AX^2+BX+C
则F(2-X)=A(2-X)^2+B(2-X)+C=4A^2-4AX+AX^2+2B-BX+C
显然如果F(X)不是二次函数,f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8一定不成立.
又 AX^2+BX+C=2(A(2-X)^2+B(2-X)+C)-x^2+8x-8
=2AX^2-8AX+8A^2+4B-2BX+2C-x^2+8x-8
==>-AX^2+3BX+8AX-C-4B-8A^2=-x^2+8x-8
等式恒等
必有 -A=-1 3B+8A=8 -C-4B-8A^2=-8 ==>A=1 B=0 C=0
所以F(X)=X^2
收起