求 sin t / t 在 零到正无穷积分有结果但是没有解题过程请指教

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 07:53:30

求 sin t / t 在 零到正无穷积分有结果但是没有解题过程请指教
求 sin t / t 在 零到正无穷积分
有结果
但是没有解题过程
请指教

求 sin t / t 在 零到正无穷积分有结果但是没有解题过程请指教
设a≥0,k>0,J(a,k)=∫[0,+∞]e^(-kx)sin(ax)/xdx.
dJ(a,k)/da=∫[0,+∞]e^(-kx)cos(ax)dx=k/(a^2+k^2).
再对a求积分,得J(a,k)=arctan(a/k).
J(a,0)=lim[k->+0]arctan(a/k)=π/2.
特别是J(1,0)=∫[0,+∞]sinx/xdx=π/2.
上面推导过程中省略了可在积分号下求导等理论问题.
参考资料：微积分学教程,菲赫金哥尔茨著,第二卷第三分册,484节.
该书455节还有另一种解法.
该积分的收敛性见同书的439节,452节.

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