有10条线段长为1,2,3,.10,从中取3条可以组成三角形的取法有多少种

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 20:03:42

有10条线段长为1,2,3,.10,从中取3条可以组成三角形的取法有多少种
有10条线段长为1,2,3,.10,从中取3条可以组成三角形的取法有多少种

有10条线段长为1,2,3,.10,从中取3条可以组成三角形的取法有多少种
按照最小边分类.
①1当做最小边不能构成三角形；
②2为最小边有7种：2+3＞4,2+4＞5,2+5＞6,2+6＞7,2+7＞8,2+8＞9,2+9＞10
③3为最小边有11种：3+4＞(5,6),3+5＞(6,7),3+6＞(7,8),3+7＞(8,9),3+8＞(9,10),3+9＞10
④4为最小边有12种：4+5＞(6,7,8),4+6＞(7,8,9),4+7＞(8,9,10),4+8>(9,10),4+9>10
⑤5为最小边有10种：5+6＞(7,8,9,10),5+7＞(8,9,10),5+8>(9,10),5+9>10
⑥6为最小边有6种：6+7＞(8,9,10),6+8＞(9,10),6+9＞10
⑦7为最小边有3种：7+8＞(9,10),7+9＞10
⑧8为最小边有1种：8+9＞10
综上,符合条件的取法有7+11+12+10+6+3+1＝50种.

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分析：此题可用枚举法，也可用公式推导法，也可用组合法或者其他解法。（以下用“枚举法”解题）
根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质
若确定一边长度为10，三边边长的组合可以是：
10、9、8～2…………（7种）
10、9、7～3…………（5种）
10、9、6～4…………（3种）
10、9、5……………（1种）
（共有7+5+3+1＝16种）
当排除边长为10的情况，若确定一边长度为9，
三边边长的组合可以是：
9、8、7～2…………（6种）
9、7、6～3…………（4种）
9、6、5～4…………（2种）
（共有6+4+2+0＝12种）
同理，当排除边长为10～9的情况，若确定一边长度为8，
三边边长的组合可以是：5+3+1+0＝9种
当排除边长为10～8的情况，若确定一边长度为7，
三边边长的组合可以是：4+2+0+0＝6种
当排除边长为10～7的情况，若确定一边长度为6，
三边边长的组合可以是：3+1+0+0＝4种
当排除边长为10～6的情况，若确定一边长度为5，
三边边长的组合可以是：2+0+0+0＝2种
当排除边长为10～5的情况，若确定一边长度为4，
三边边长的组合可以是：1+0+0+0＝1种
综上所述，边长为1～10的10条线段中任取3条组成三角形的组合数为：
16+12+9+6+4+2+1＝50（种）

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