作业帮大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?错解错在哪里?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 06:27:05
大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?错解错在哪里?
大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?
错解错在哪里?
大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?错解错在哪里?
因为题目只给出g(x)在x=a处连续,并不保证g(x)在x=a处可导,所以错解中的g'(x)不一定存在
严格地说,"正确解法"也不完全对,因为g'(x)不一定存在,进而f'(a)是否存在也不知道
必须分别求f(x)在x=a处的左导数和右导数,然后比较
例如设g(x)=|x-a|, g(x)在x=a处连续,但g(x)在x=a处不可导,所以g'(a)不存在
但f(x)=(x²-a²)g(x)=(x²-a²)|x-a|
则f(x)在x=a处的左导数
f'(a-)=lim(x→a-) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a-) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a-) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
f(x)在x=0处的右导数
f'(a+)=lim(x→a+) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a+) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a+) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
∴f'(a-)=f'(a+)=f'(a)=2a|x-a|=2ag(a)
两个函数乘积的求导公式，只有在二者都可导的条件下才能应用。现在只有 g(x)的连续性，故第一种解法错误。
正确的解法是利用导数的定义来求。
利用导数的定义来求函数在某一点的导数有时用起来很方便。
例如：f(x) = x (x-1) (x-2) ...... (x-100), 求 f '(0), 按照定义来求是最简单的。
f '(0) = lim(x->0)...
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两个函数乘积的求导公式，只有在二者都可导的条件下才能应用。现在只有 g(x)的连续性，故第一种解法错误。
正确的解法是利用导数的定义来求。
利用导数的定义来求函数在某一点的导数有时用起来很方便。
例如：f(x) = x (x-1) (x-2) ...... (x-100), 求 f '(0), 按照定义来求是最简单的。
f '(0) = lim(x->0) [f(x) - f(0) ] / x = lim(x->0) (x-1) (x-2) ...... (x-100) = 100!
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