证明199^2≠a^2+b^2(a,b是正整数)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 12:08:59

证明199^2≠a^2+b^2(a,b是正整数)
证明199^2≠a^2+b^2(a,b是正整数)

证明199^2≠a^2+b^2(a,b是正整数)
To easy
由勾股定理的通解公式,可设
a=m^2-n^2,b=2m*n,199=m^2+n^2
由于199是奇数,所以 m,n 一奇一偶.
易知,奇数的平方被4除余1,所以m^2+n^2(=199)被4除余1.
但是199被4除余3,矛盾!
199^2≠a^2+b^2

全部展开

设存在正整数a,b满足199^2=a^2+b^2
所以199^2-a^2=(199-a)(199+a)=b^2
所以根号[(199-a)(199+a)]=b
因为a为正整数，所以199-a，199+a均为正整数
所以根号(199-a)，根号(199+a)都为正整数
199以下只有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196的根号为正整数
所以当a=198，195，190，183，174，163，150，135，118，99，78，55，30，3时根号(199-a)为正整数，但根号(199+a)均不为正整数
所以不能满足a,b都是正整数

收起

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