为什么多数向量能由少数向量表示,则多数向量一定线性无关 能给出具体证明吗发错了，是“为什么多数向量能由少数向量表示，则多数向量一定线性相关 能给出具体证明吗”

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 10:45:51

为什么多数向量能由少数向量表示,则多数向量一定线性无关 能给出具体证明吗发错了，是“为什么多数向量能由少数向量表示，则多数向量一定线性相关 能给出具体证明吗”
为什么多数向量能由少数向量表示,则多数向量一定线性无关 能给出具体证明吗
发错了，是“为什么多数向量能由少数向量表示，则多数向量一定线性相关 能给出具体证明吗”

为什么多数向量能由少数向量表示,则多数向量一定线性无关 能给出具体证明吗发错了，是“为什么多数向量能由少数向量表示，则多数向量一定线性相关 能给出具体证明吗”
我来回答：
首先,有两句话：第一句话,相关性是和秩有关的,与个数没什么关系.
第二句话：如果向量组B可由向量组A线性表出,则R(A)≥R(B),也即秩大的能容纳秩小的.
注意：线性无关的可以理解为有用的向量来构成秩,而相关的为无用的向量,因为他可以被有用的表示.
其次,解释一下原因：设向量组A：a1,a2.an；向量组B:b1,b2.bm；
若B可由A线性表出,则：AX=B有解,也即R(A|B)=R(A)所以R(A)=R(A|B)≥R(B)
如果m＞n,即B的向量比A的多；则B 一定线性相关.（理解,只有向量多,秩才可能大；现在秩小的反而向量多了,肯定有多余的没用向量,所以它就相关了）
如果A线性无关,则m≤n（可以看成是上面命题的逆否命题,它们是等价命题）

设两个向量组：a1,a2,,,an；b1,b2,,,bm，且m>n。
我们可以求得a1,a2,,,an向量组的最大线性无关组向量个数为s（s<=n）。
并且可知向量组b1,b2,,,bm可由a1,a2,,,an表示，则两向量的最大线性无关组相同。
又因为m>n，则m>s，所以向量组b1,b2,,,bm线性相关。
另外，用矩阵的秩也可以证明，你可以尝试一下。...

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设两个向量组：a1,a2,,,an；b1,b2,,,bm，且m>n。
我们可以求得a1,a2,,,an向量组的最大线性无关组向量个数为s（s<=n）。
并且可知向量组b1,b2,,,bm可由a1,a2,,,an表示，则两向量的最大线性无关组相同。
又因为m>n，则m>s，所以向量组b1,b2,,,bm线性相关。
另外，用矩阵的秩也可以证明，你可以尝试一下。

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