求出 1/(1^2)+1/(2^2)+...+1/(n^2)+...的值.最好能给出推导过程,如果有好的方法,或想法希望也能指教下.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 16:03:00

求出 1/(1^2)+1/(2^2)+...+1/(n^2)+...的值.最好能给出推导过程,如果有好的方法,或想法希望也能指教下.
求出 1/(1^2)+1/(2^2)+...+1/(n^2)+...的值.最好能给出推导过程,
如果有好的方法,或想法希望也能指教下.

求出 1/(1^2)+1/(2^2)+...+1/(n^2)+...的值.最好能给出推导过程,如果有好的方法,或想法希望也能指教下.
值为 π^2/6
是由欧拉首先计算出来的.现在用复变函数的留数计算能求出,公式较复杂,这里就不写了.
欧拉的算法：
考虑sin(x)/x的级数展开
sin(x)/x＝1+x^2/3!+x^3/4!+……+x^n/(n+1)!+…… （1）
另外sin(x)/x＝0的解为±π,±2π,……±nπ,……
于是sin(x)/x＝[1-(x^2)/(π^2)][1-(x^2)/(2^2*π^2)][1-(x^2)/(3^2*π^2)]……[1-(x^2)/(n^2*π^2)]……
此式右边x^2项乘积相加后为1+1/(2π)^2+1/(3π)^2+1/(4π)^2+……1/(nπ)^2+……
令其等于（1）式的x^2项系数,就有
1+1/(2π)^2+1/(3π)^2+1/(4π)^2+……1/(nπ)^2+……＝1/3!＝1/6
就得到
1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...＝π^2/6

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