求不定积分∫[0,3]arcsin(x/(1+x))^1/2dx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 04:03:48

求不定积分∫[0,3]arcsin(x/(1+x))^1/2dx
求不定积分∫[0,3]arcsin(x/(1+x))^1/2dx

求不定积分∫[0,3]arcsin(x/(1+x))^1/2dx
∫(0→3) arcsin √[x/(1 + x)] dx
= x arcsin √[x/(1 + x)] - ∫ x darcsin √[x/(1 + x)]

由于xE[0,3] x/(1+x)E[0,3/4]
则令:x=tan^2a aE(0,arctan3/4)
[x/(1+x)]^1/2=sina
arcsin(sina)=a
原式=∫adtan^2a=atan^2a-∫tan^2ada
∫tan^2ada=tana-a+c
原式=atan^2a-tana+a+c
x=tan^2a x...

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由于xE[0,3] x/(1+x)E[0,3/4]
则令:x=tan^2a aE(0,arctan3/4)
[x/(1+x)]^1/2=sina
arcsin(sina)=a
原式=∫adtan^2a=atan^2a-∫tan^2ada
∫tan^2ada=tana-a+c
原式=atan^2a-tana+a+c
x=tan^2a x=0 a=0 x=3时,tana=根号3 a=pai/3
原式={atan^2a-tana+a} (0,pai/3)
=(pai/3*3-根号3+pai/3)-0
=pai-根号3+pai/3 =4pai/3-根号3

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