设f(x)二阶可导,f'(x)+f(-x)=0,f(0)=1,求f(x).麻烦写上分析思路

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 06:18:15

设f(x)二阶可导,f'(x)+f(-x)=0,f(0)=1,求f(x).麻烦写上分析思路
设f(x)二阶可导,f'(x)+f(-x)=0,f(0)=1,求f(x).
麻烦写上分析思路

设f(x)二阶可导,f'(x)+f(-x)=0,f(0)=1,求f(x).麻烦写上分析思路
对f'(x)+f(-x)=0求导得
f''(x)-f'(-x)=0.
另外在第一式中令x为-x得
f'(-x)+f(x)=0,代入第二式得微分方程
f''(x)-f(x)=0.
解此二阶齐次线性常微分方程得
f(x)=Acosx+Bsinx,
由已知f(0)=1,和第一式令x=0得到的f'(0)=-1,
于是A=1,B=-1,故
f(x)=cosx-sinx.