数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,并求其通项.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 02:57:24

数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,并求其通项.
数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,并求其通项.

数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,并求其通项.
∵S(n+1)=4an+2
∴当n≥2时,Sn=4a(n-1)+2
∴S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1),
即:a(n+1)=4an-4a(n-1).(1)
∴a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],
即:bn=2b(n-1).
∴{bn}是等比数列.
等比数列{bn}的公比是2.
首项b1=a2-2a1,
又S2=4a1+2,a1+a2=4a1+2,
∴a2=3a1+2=5,
∴b1=3.
∴数列{bn}的通项公式是:bn=3*2^(n-1).