作业帮数列｛An}为等差数列,A3=5,A7=13,数列｛Bn}的前n项和为Sn,且Sn=2Bn-1.求｛An｝{Bn}的通项公式（2）Cn=AnBn,{Cn}的前n项和为Tn,求Tn.(3)试比较Tn与AnSn的大小,并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 02:11:57
数列｛An}为等差数列,A3=5,A7=13,数列｛Bn}的前n项和为Sn,且Sn=2Bn-1.求｛An｝{Bn}的通项公式（2）Cn=AnBn,{Cn}的前n项和为Tn,求Tn.(3)试比较Tn与AnSn的大小,并说明理由.
数列｛An}为等差数列,A3=5,A7=13,数列｛Bn}的前n项和为Sn,且Sn=2Bn-1.求｛An｝{Bn}的通项公式
（2）Cn=AnBn,{Cn}的前n项和为Tn,求Tn.(3)试比较Tn与AnSn的大小,并说明理由.
数列｛An}为等差数列,A3=5,A7=13,数列｛Bn}的前n项和为Sn,且Sn=2Bn-1.求｛An｝{Bn}的通项公式（2）Cn=AnBn,{Cn}的前n项和为Tn,求Tn.(3)试比较Tn与AnSn的大小,并说明理由.
1.
设{an}公差为d.
a7-a3=4d=13-5=8
d=2
a1=a3-2d=5-4=1
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为.
n=1时,S1=b1=2b1-1
b1=1
n≥2时
Sn=2bn -1 S(n-1)=2b(n-1) -1
Sn-S(n-1)=bn=2bn-1 -2b(n-1)+1=2bn-2b(n-1)
bn=2b(n-1)
bn/b(n-1)=2,为定值.
数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.
bn=1×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1)
2.
cn=anbn=(2n-1)×2^(n-1)=n×2ⁿ -2^(n-1)
Tn=c1+c2+...+cn
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ -[2^0 +2+2²+...+2^(n-1)]
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ-(2ⁿ-1)/(2-1)
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ -2ⁿ+1
令Cn=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+...+2ⁿ -n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)=n×2^(n+1)-2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=(n-1)×2^(n+1) +2
Tn=Cn -2ⁿ+1=(n-1)×2^(n+1) +2 -2ⁿ+1
=(2n-2-1)×2ⁿ+3
=(2n-3)2ⁿ +3.
3.
anSn=(2n-1)(2ⁿ-1)/(2-1)=(2n-1)2ⁿ
Tn-anSn
=(2n-3)2ⁿ +3-(2n-1)2ⁿ
=3-2^(n+1)
随n增大,2^(n+1)增大,3-2^(n+1)减小.
n=1时,Tn-anSn=3-2²=3-4=-1