作业帮高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1,求x^2+y^2的最小值 .（能用基本不等式做吗?）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:11:56
高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1,求x^2+y^2的最小值 .（能用基本不等式做吗?）
高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1,求x^2+y^2的最小值 .（能用基本不等式做吗?）
高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1,求x^2+y^2的最小值 .（能用基本不等式做吗?）
方法一：
由已知,y=(1-2x)/4,
所以,x^2+y^2=x^2+[(1-2x)/4]^2=(20x^2-4x+1)/16
据二次函数性质,最小值为 (80-16)/(16*80)=1/20.
方法二：
设 x^2+y^2=t.
由已知得 y=(1-2x)/4,代入上式得
x^2+[(1-2x)/4]^2=t,
化简得 20x^2-4x+1-16t=0,
所以 Δ=(-4)^2-4*20*(1-16t)>=0,
解得 t>=1/20,即 x^2+y^2最小值为1/20.
方法三：
设 x^2+y^2=r^2.
则直线 2x+4y-1=0与圆x^2+y^2=r^2有公共点,
所以,圆心到直线的距离
这是直线和圆相切的问题
1.画出直线2x+4y=1，可以看出当直线与圆x^2+y^2=a相切时a最小。
连接坐标原点和切点，用相似三角形基本定理可以算出这个线段的长度1/(2kaigen5); b = 1/20
用柯西不等式
（x^2+y^2）（4+16）>=(2x+4y)^2=1
x^2+y^2>=1/20谢谢回答。我没有学过柯西不等式，只学过基本不等式。即x²+y²≥2xy、x+y≥2√xy。这样啊，那就用最基本的做好了，2x+4y=1，则2x=1-4y S=x^2+y^2，则4S=4x^2+4y^2=(1-4y)^2+4y^2=20y^2-8y+1=20(y-1...
全部展开
用柯西不等式
（x^2+y^2）（4+16）>=(2x+4y)^2=1
x^2+y^2>=1/20
收起
由2x+4y=1得y=-x/2+1/4，与之垂直且通过原点的直线是y=2x，联立此两方程，得x=1/10，y=1/5
把此值代入x^2+y^2得最小值是1/20
x=(1-4y)/2
代入得x^2+y^2=(1-8y+16y^2)/4+y^2
=5y^2-2y+1/4
=5(y-0.2)^2+1/20
y=0.2时有最小值为1/20