作业帮数学（数列公式推导）求1^2+2^2+3^2+……n^2公式是什么,怎么推导(不要用数学归纳法)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:16:34
数学（数列公式推导）求1^2+2^2+3^2+……n^2公式是什么,怎么推导(不要用数学归纳法)
数学（数列公式推导）
求1^2+2^2+3^2+……n^2
公式是什么,怎么推导(不要用数学归纳法)
数学（数列公式推导）求1^2+2^2+3^2+……n^2公式是什么,怎么推导(不要用数学归纳法)
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
1*2+2*3+3*4+……+n(n+1)
=(1/3)[1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=(1/3)n(n+1)(n+2)
1²+2²+3²+……+n²
=1*2+2*3+3*4+……+n(n+1)-(1+2+3+……+n)
=(1/3)n(n+1)(n+2)-(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)[2(n+2)-3]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)
原式=对i从1到n求和｛i^2｝
=对i从1到n求和｛i(i+1)-i｝
=对i从1到n求和｛i(i+1)}-对i从1到n求和｛i}
=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/6
其中对i从1到n求和，楼主可以自己改成∑的形式
对于固定通项的数列求和问题都是考虑∑求和
而常用的公式主要就是
对i从1...
全部展开
原式=对i从1到n求和｛i^2｝
=对i从1到n求和｛i(i+1)-i｝
=对i从1到n求和｛i(i+1)}-对i从1到n求和｛i}
=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1)/6
其中对i从1到n求和，楼主可以自己改成∑的形式
对于固定通项的数列求和问题都是考虑∑求和
而常用的公式主要就是
对i从1到n求和｛i(i+1)……(i+k)}=n(n+1)……(n+k+1)/(k+2)
如此题便是如此
收起