第八届

第八届
第八届

第八届
第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
班级 姓名
一、选择题
1、 是定义域为 的奇函数,下列结论中正确的是--------------------------（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2、正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与A1B所成角相等于------------------------（ ）
（A）300 （B）450 （C）600 （D）900
3、 等于--------------------------------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC中点,沿BM把它折为二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为-----------------------------（ ）
（A）300 （B）600 （C）900 （D）1200
5、以下函数中,在区间 上是增函数的函数是-------------------------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、已知 , , ,则集合 、 、 满足关系式------------------------（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角的大小关系是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A）相等 （B）互补 （C）相等或互补 （D）不能确定的
8、对于任意实数 ,函数 都有 ,则有-（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9、若函数 和 都是周期函数,最小正周期都是 ,对于函数 ,以下判断中,正确的是------------------------------------------（ ）
（A） 最小正周期是 （B）有最小正周期 ,且
（C）是周期函数,但可能没有最小正周期 （D）可能是非周期函数
10、5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有-----------------------------------------------------------------（ ）
（A）5对 （B）6对 （C）7对 （D）8对
二、A组填空题
11、若函数 ,则 .
12、函数 的反函数为 .
13、矩形ABCD中,AB=4,BC=3,PA⊥平面ABCD,PA=1,则P点到BD的距离等于 .
14、函数 ,则 的值是 .
15、函数 的值域为 .
16、若 ,则 的取值范围是 .
17、关于 的方程 有且仅有一个在 内的实根,那么 的取值范围是 .
18、正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的大小为 .
19、三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,且二面角H-AB-C的大小为300,则SA AB= .
20、长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=3,在线段BD、A1C1上各有一动点P、Q,在PQ上有一点M,且PM=2MQ,则M点轨迹图形的面积为 .
三、B组填空题
21、过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面,若截面是等腰三角形,侧面与底面所成角为 ,则 .
22、若 ,则 的值等于 .
23、若 对一切 ,都有 ,且 ,则 、 的值分别为 .
24、方程 的解为 .
25、函数 , （ 是整数）的值域中恰有10个不同整数,则 的值为 .

第八届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试
班级 姓名
一、选择题
1、集合 , ,则有----------（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、方程 的解的情况为--------------------------------------------（ ）
（A）无解 （B）有无数个解 （C）有唯一解 （D）有多于1个的有限个解
3、函数 的图象在 轴右边的第3条对称轴的方程是----------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1、ABCD的中心,G为CC1的中点,设GF与AB所成的角为 ,C1E与AB所成的角为 ,则 --------------------------------------（ ）
（A）300 （B）600
（C）900 （D）1200
5、在 平面内,如果一条直线上只有一个点在幂函数的图象上,这条直线上除这个点外的任何一点都不在任何一个幂函数的图象上,这样的直线称为“特殊直线”,关于“特殊直线”的数目,下列各说法中正确的是---------------------------------（ ）
（A）1 （B）2 （C）不少于3 （D）0
6、三棱锥6条棱所在直线中,互相垂直的成对直线至多有----------------------（ ）
（A）5对 （B）6对 （C）7对 （D）9对
7、函数 与函数 的图象---------------------------------（ ）
（A）关于直线 对称 （B）关于直线 对称
（C）关于直线 对称 （D）关于直线 对称
8、 、 是异面直线,以下命题中错误的是----------------------------------------（ ）
（A）存在唯一的平面与 、 都平行,且与 、 距离相等
（B）过 、 外一点能作且只能作一个平面与 、 都平行
（C）与 、 都垂直的直线有无穷多条
（D）不存在与 、 都垂直的平面
9、设 是区间 上的奇函数, ,当 时, ,则 等于--------------------------------------------------------------（ ）
（A）1 （B）0 （C）-1 （D）1997
10、将棱长为5的正方体锯成棱长为1的125个小正方体,锯12次可达到目的,请你想法尽可能少锯几次,那么至少需要锯-----------------------------------------（ ）
（A）7次 （B）8次 （C）9次 （D）10次
二、填空题
11、 ,则 的值等于 .
12、当 时,若函数 的定义域和值域都是 ,则 .
13、若函数 在区间 上是减函数,则实数 的取值范围是 .
14、已知函数 ,且 ,则 .
15、AA’DB是等腰梯形,AB=A’D,下底BD=2,上底AA’=4,S、C分别是AA’、BD的中点,SC=1,沿SB、SC、SD折叠,使这梯形成为一个四棱锥S-ABCD的各侧面（A、A’重合）,则此棱锥底面上的对角线AC的长等于 .
16、对于函数 与 ,规定：当 时, ※ = ；当 时, ※ = .已知 , ,则 ※ 的最大值为 .
17、若一个圆锥中有三条母线两两垂直,则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 .
18、长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与面AB1成250角,BD1与面A1C1成450角,则BD1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于 .
19、平行光线照射到一个棱长为1的正方体上,在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S,则S的最大值为 .
20、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体表面上与点A距离是 的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 .
三、解答题
21、空间从O点出发的4条射线OA、OB、OC、OD两两所成角相等,求OA与平面OBC所成角的余弦值.
22、已知函数 ,其中 、 、 是非零实数,甲、乙两人做一游戏：他们轮流确定系数 、 、 （如甲令 ,乙令 ,甲再令 ）后,如果对于任意实数 , ,那么甲得胜；如果存在实数 ,使 ,那么乙得胜.甲先选数,他是否有必胜策略?为什么?如果 、 、 是任意实数,结论如何?为什么?