作业帮正多边形面积公式现今有没有一个很好的式子来表示正多边形面积?有的话 要证明方法！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 05:50:54
正多边形面积公式现今有没有一个很好的式子来表示正多边形面积?有的话 要证明方法！
正多边形面积公式
现今有没有一个很好的式子来表示正多边形面积?
有的话
要证明方法！
正多边形面积公式现今有没有一个很好的式子来表示正多边形面积?有的话 要证明方法！
有.
设正n边形的面积为S,
则,S=(1/2)nR^2*sinα=nr^2tan（α/2)
式中,n--边数,R--三角形的外接圆的半径,r--三角形的内切圆的半径,α--一边所对的圆心角（以度计）
证明也很简单.
正n边形可分割成n割等腰三角形,按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积,当然有点技巧.
现证明如下.
(1) 设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
连接OA、OB,得一三角形AOB,其面积为：S'AOB
则,S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)
且,AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2)
故,S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2)
S'△AOB=(1/2)R^2sinα
正n边形的面积S=n*S△AOB
故,S=(1/2)nR^2sinα
（2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积S
证：因r是圆O的外切正多边形的边心距,也是△AOB的AB上的高（r)
S''△AOB=(1/2)*AB*r
此时 ,AB/2=rtan(α/2),故AB=2rtan(α/2)
S''△AOB=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)
故,正n边形的面积S=n*S''△AOB=nr^2*tan(α/2)
---全部证毕.
考虑正n边形的外接圆半径为r，边长a 公式s=(a*n/2)*根号下r^2-(a/2)^2 多简单 用个勾股定理，分成n个三角形
有的，(1) 设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）, 连接OA、OB,得一三角形AOB，其面积为：S'AOB 则，S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2) 且，AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2) 故，S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2) S'△AOB=(1/2)R^2sinα 正n边形的面积S=n*S△AOB 故，S=(1/2)nR^2sinα
1/2*n*sin(2π/n)*R^2
R是外接圆半径
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.
根据边数没有统一的工式吧.
设正n边形的外接圆半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为rn，
则αn＝360°÷n，an＝2Rsin(180°÷n)，r n＝Rcos(180°÷n)，R^2＝r n^2＋(an÷2)^2，周长pn＝n×an，面积Sn＝pn×rn÷2。
我从http://wenw...
全部展开
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.
根据边数没有统一的工式吧.
设正n边形的外接圆半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为rn，
则αn＝360°÷n，an＝2Rsin(180°÷n)，r n＝Rcos(180°÷n)，R^2＝r n^2＋(an÷2)^2，周长pn＝n×an，面积Sn＝pn×rn÷2。
我从http://wenwen.soso.com/z/q76696967.htm看的第二种
自己也不知对不对
但希望您能满意
收起
设边长为a，为正n边形
则S=n/2*a^2cot（π/n）(将n边形分割为n个等腰三角形算就可以了)
我不大清楚，个人感觉应该会用到三角函数，但用了三角函数式子感觉很怪，而且实用性不强。
bzd