求定积分 ∫1/x√lnx（1-lnx）dx 积分上限e^3/4 下限√e做了一步 后边就不会了= =

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 16:15:38

求定积分 ∫1/x√lnx（1-lnx）dx 积分上限e^3/4 下限√e做了一步 后边就不会了= =
求定积分 ∫1/x√lnx（1-lnx）dx 积分上限e^3/4 下限√e
做了一步 后边就不会了= =

求定积分 ∫1/x√lnx（1-lnx）dx 积分上限e^3/4 下限√e做了一步 后边就不会了= =
令u = lnx,du = 1/x dx
当x = √e,u = 1/2
当x = e^(3/4),u = 3/4
∫(√e~e^(3/4)) 1/[x√(lnx * (1 - lnx))] dx
= ∫(1/2~3/4) 1/√[u * (1 - u)] du
= ∫(1/2~3/4) 1/√(u - u²) du
= ∫(1/2~3/4) 1/√[- (u² - u + 1/4) + 1/4] du
= ∫(1/2~3/4) 1/√[1/4 - (u - 1/2)²] du
令u - 1/2 = (1/2)sinz,2u - 1 = sinz,2du = coszdz
当u = 1/2,0 = sinz => z = 0
当u = 3/4,1/2 = sinz => z = π/6
= ∫(0~π/6) 1/√(1/4 - 1/4 * sin²z) * (1/2)cosz dz
= ∫(0~π/6) dz
= π/6

∫(1/x)√lnx(1-lnx)dx
=∫√[1/4-(lnx-1/2)^2]d(lnx-1/2)
lnx-1/2=u
=∫√(1/4-u^2)du
=u√(1/4-u^2)+∫u^2du/√(1/4-u^2)
=u√(1/4-u^2)-∫√(1/4-u^2)du+∫(1/4)du/√(1/4)-u^2)
2∫(1/4-u^2)du=u√(1/4-...

全部展开

∫(1/x)√lnx(1-lnx)dx
=∫√[1/4-(lnx-1/2)^2]d(lnx-1/2)
lnx-1/2=u
=∫√(1/4-u^2)du
=u√(1/4-u^2)+∫u^2du/√(1/4-u^2)
=u√(1/4-u^2)-∫√(1/4-u^2)du+∫(1/4)du/√(1/4)-u^2)
2∫(1/4-u^2)du=u√(1/4-u^2)+(1/4)∫d(2u)/√[1-(2u)^2]
=u√(1/4-u^2)+(1/4)arcsin(2u)+C1
∫√(1/4-u^2)du=(1/2)u√(1/4-u^2)+(1/8)arcsin(2u)+C
∫(1/x)√[lnx(l-lnx)]dx=(1/2)(lnx-1/2)√(lnx-lnx^2)+(1/8)arcsin(2lnx-1)
∫[√e, e^(3/4)] (1/x)√[lnx(1-lnx)]=(1/2)(1/4)√3/4+(1/8)arcsin(1/2)
=√3/32+π/48

收起

求(1-lnx)/(x-lnx)^2的定积分 求定积分 (lnx)^2/1+x 求定积分∫[1,4] [lnx/(根号x)]dx ∫（1→e²）dx／x√（1＋lnx） 求定积分 求定积分∫【e,1】((lnx)^3）dx 求定积分：∫（e到1）lnx dx 求定积分 ∫(1到4）lnx/根号X d根号X 积分上限2,积分下限1,求√x*lnx的定积分, 求定积分∫[1,e]dx/x√(1-(lnx)^2) 求定积分:∫（上标是+∞ ,下标是1）(lnx)/(x^2)dx= 求定积分在区间（正无穷~e）∫1/x(lnx)^p dx 求积分√(1+lnx)/x dx 求(1-lnx)/(x+lnx)^2的积分 (x+lnx)^2为x+lnx的平方 定积分 ∫x*lnx*dx 上限e.下限1 计算定积分∫1/(x*lnx)dx 求定积分 上限e^2 下限1 ∫[lnx/根号x]dx求定积分 上限e^2 下限1 ∫[lnx/根号x]dx lnx/x定积分 求lnx在（1,e）上的定积分.