作业帮设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x^3.(1)证明:f(x)是奇函数(2)当x∈[3,7]时,求f(x)解析式今天就要,在线等啊!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 18:36:08
设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x^3.(1)证明:f(x)是奇函数(2)当x∈[3,7]时,求f(x)解析式今天就要,在线等啊!
设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),
当-1≤x≤1时,f(x)=x^3.(1)证明:f(x)是奇函数(2)当x∈[3,7]时,求f(x)解析式
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设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x^3.(1)证明:f(x)是奇函数(2)当x∈[3,7]时,求f(x)解析式今天就要,在线等啊!
（1）由题设知,若点M(x,y)是函数图像上的任一点,则点N(2-x,y)也是函数图像上的一点.故有f(x)=f(2-x).又f(x+2)=-f(x).故对f(x)=f(2-x).===>f(-x)=f(2+x)=-f(x).===>f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.（2）由f(x+2)=-f(x)知,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).===>f(x+4)=f(x)===>f(x-4)=f(x).当3≤x≤5.===>-1≤x-4≤1.===>f(x-4)=(x-4)^3=f(x),即当3≤x≤5时,f(x)=(x-4)^3.又函数图像关于直线x=1对称,故5≤x≤7,===>-1≤x-6≤1.f(x-6)=(x-6)^3,又f(x-6)=f(8-x)=f(4-x)=-f(x-4)=-f(x).===>f(x)=-f(x-6)=-(x-6)^3.综上知,在[3,5]上,f(x)=(x-4)^3,在[5,7]上,f(x)=-(x-6)^3.
（1）证明∵x=1是f（x）的图象的一条对称轴，
∴f（x+2）=f（-x）．又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），即f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），∴T=4．若x∈[3，5]，则（x-4）∈[-1，1]，
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（1）证明∵x=1是f（x）的图象的一条对称轴，
∴f（x+2）=f（-x）．又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），即f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），∴T=4．若x∈[3，5]，则（x-4）∈[-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）3．又∵f（x-4）=f（x），
∴f（x）=（x-4）3，x∈[3，5]．若x∈（5，7]，
则（x-4）∈（1，3]，f（x-4）=f（x）．
由x=1是f（x）的图象的一条对称轴可知f[2-（x-4）]=f（x-4）
且2-（x-4）=（6-x）∈[-1，1]，
故f（x）=f（x-4）=f（6-x）=（6-x）3=-（x-6）3．
综上可知f（x）=(x-4)3 3≤x≤5-(x-6)3 5＜x≤7.
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