作业帮求一道初中一年级的数学题 1+3+5+7...+（2n+1）=? 现在初中孩子的题真难算,希望高人帮助,谢吧他的规律或者得数求出来必要的话，麻烦告诉一下解答过程谢谢其中n为自然数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 16:10:14
求一道初中一年级的数学题 1+3+5+7...+（2n+1）=? 现在初中孩子的题真难算,希望高人帮助,谢吧他的规律或者得数求出来必要的话，麻烦告诉一下解答过程谢谢其中n为自然数
求一道初中一年级的数学题 1+3+5+7...+（2n+1）=? 现在初中孩子的题真难算,希望高人帮助,谢
吧他的规律或者得数求出来
必要的话，麻烦告诉一下解答过程
谢谢
其中n为自然数
求一道初中一年级的数学题 1+3+5+7...+（2n+1）=? 现在初中孩子的题真难算,希望高人帮助,谢吧他的规律或者得数求出来必要的话，麻烦告诉一下解答过程谢谢其中n为自然数
规律如下：
k=1时,1+3= (1+1)²
k=2时,1+3+5=(1+2)²
k=3时,1+3+5+7=(1+3)²
.
k=n时,1+3+5+7...+（2n+1）= (n+1)²
计算过程：
当n为奇数时：1+3+5+7...+（2n+1） 【共n+1项】
={1+(2n+1)} +{3+(2n-1)} + {5+(2n-3)} +{7+(2n-5)} +.+{n+n+2} 【共(n+1)/2个{ } 】
=(n+1)/2 * (2n+2)
= (n+1)²
当n为偶数时：1+3+5+7...+（2n+1） 【共n+1项】
={1+(2n+1)} +{3+(2n-1)} + .+{(n-1)+(n+3)} +(n+1)【前边共n/2个{ },最后一项为n+1】
=n/2 * (2n+2) +(n+1)
=n(n+1)+(n+1)
= (n+1)²
高斯的基本方法,第一个和最后一个配对,第2个和倒数第2个配对,依次类推,共可以配成(2n+2)/4对.每一对的和都是2n+2.所以结果是(n+1)*(n+1)=n^2+2n+1 =(n+1)²
原式=(1+2n+1)(n+1)/2=(n+1)²
也可以这样看
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5.........+(2n-1)=n²
1+3+5+7...+（2n+1）=(n+1)²
这个是个等差数列的求和问题：
等差数列通项公式：
an=a1+(n-1)d
其中a1为首项，d为公差(如d=a2-a1等等)
求和公式：
Sn=[n(a1＋an)]/2=na1＋[n(n－1)]d/2
a1=1,d=3-1=2,an=2n+1
得题中所求式子Sn=n+n(n－1)=n^2
1+(2n+1)=2n+2
3+(2n-1)=2n+2
.
.
(2n+1)/2=n+0.5 有n+0.5个（2n+2）
1+3+5+7...+（2n+1）=（2n+2）*（n+0.5）
Sn=n*(a1+an)/2=n*a1+(n*(n-1)/2)*d
此例中为（n+1)*(1+2n+1)/2=(n+1)的平方
如果前面是奇数结果是偶数，如果前面是偶数结果就是奇数！也就能看出这么多了
平方差公式
原式=[1+(2n+1)]×（n+1)÷2
=n的平方+2n+1
=(n+1)的平方
(2n^2+2n)/2
此题为首相为a1=1,d=2的等差数列；则有：
S=a1d+n（n-1）d=2+2n（n-1）