高数题（极限存在准则,两个重要极限）设数列{xn}由下式给出：X0＞0,Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn） （n=1,2,.）证明lim Xn 存在,求其值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 05:41:57

高数题（极限存在准则,两个重要极限）设数列{xn}由下式给出：X0＞0,Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn） （n=1,2,.）证明lim Xn 存在,求其值
高数题（极限存在准则,两个重要极限）
设数列{xn}由下式给出：X0＞0,Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn） （n=1,2,.）证明lim Xn 存在,求其值

高数题（极限存在准则,两个重要极限）设数列{xn}由下式给出：X0＞0,Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn） （n=1,2,.）证明lim Xn 存在,求其值
归纳法得xn≥1,n≥1时,｛xn｝有下界
X(n+1)－Xn＝1/2×(1+Xn)(1-Xn)/Xn≤0,所以｛Xn}单调减少
所以｛Xn}有极限,设极限是a
在Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn）两边取极限,a＝1/2(a+1/a),得a＝1（由极限的保号性,a＝－1舍去）

先用单调有界原理证明极限存在,
因为Xn+1=1／2（Xn+1／Xn）< Xn,所以数列{ Xn }单调递减，
Xn>0,所以数列有下界。
由单调有界原理得极限存在。
设limXn=a，则limXn+1=a
对等式Xn+1＝1／2（Xn+ 1／Xn）两边求极限得：a=1／2（a+ 1／a）
a=1／√2 i

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