关于斐波那契数列中的规律.

关于斐波那契数列中的规律.
关于斐波那契数列中的规律.

关于斐波那契数列中的规律.
1,1,2,3,5,8,13.
除了开始的1,1
任何一个数都等于前面两个数的加和

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　
第1项+第2项=第3项 1+1=2
第2项+第3项=第4项 1+2=3
第3项+第4项=第5项 2+3=5
第n-2项+第n-1项=第n项
　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

初始值是x(1)=1,x(2)=1。然后按下式递归: x(n)=x(n-1)+x(n-2);
列举几个值：1,1,2,3,5,8,13,21……

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………
前两个数相加等于本身，N+(N+1)=N+2

初始值是x(1)=1,x(2)=1。然后按下式递归: x(n)=x(n-1)+x(n-2)

1,1,2,3,5,8,13,21,34,...............
a1=1,a2=1,a3=a1+a2,a4=a2+a3,..........
a(n+1)=a(n-1)+a(n)

后一个数是前两个数的和。繁分数分母总是大于1，所以的值总是小于1
而分子总是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1时，值等于1/2，后来的值均大于1/2
而每次计算繁分数时，繁分数分母中的分母总是不变，分子总是先前分子与分母之和
这就完全符合斐波那契数列的展开规律
那么这个最简单的无穷连分数的值是多少呢？
也就是斐波那契数列连续两项之比的极限是多少呢？

全部展开

后一个数是前两个数的和。繁分数分母总是大于1，所以的值总是小于1
而分子总是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1时，值等于1/2，后来的值均大于1/2
而每次计算繁分数时，繁分数分母中的分母总是不变，分子总是先前分子与分母之和
这就完全符合斐波那契数列的展开规律
那么这个最简单的无穷连分数的值是多少呢？
也就是斐波那契数列连续两项之比的极限是多少呢？
设：x=1/(1+1/(1+1/(1+...)))
显然有：x=1/(1+x)
即：x^2+x-1=0
x=(√5-1)/2=0.618...(舍去负值)
这就是黄金分割比例，也是斐波那契数列连续两项之比的极限
这就是楼主所说的：“越来越接近黄金比例”的原因。
所谓“随n的增加，两数之间的差距越来越小”，其实就是越来越接近极限嘛。
那为什么“任意两数不断相加”都这样呢？
黄金分割比例其实是个中外比的问题：
所谓中外比，就是分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。
如果把较长的一段设为x，则较短的一段为1-x
所以，x^2=1*(1-x) 【其中“1”表示全线段】
即：x^2+x-1=0，与上面解最简单的无穷连分数的方程完全一致
注意这里的全线段用1来表示，这就是说求黄金分割比例与线段的实际长度无关
同样道理，对于斐波那契数列的展开，如果考察的是前后两项的比例
那么，从哪两个数开始相加，就是无所谓的了
因为总是两个数中的大数与两数和之比，这与黄金分割的中外比完全是一个意思
况且除了第一个比值还不是与“和”比之外，其他所有比值总是在0.5和1之间
如果开始的两个数不相同，那么：m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,...
可见还是按斐波那契数列规律在展开，当然这是大致理解，严格的证明要看相关资料
再想想看，如果斐波那契数列最开始两个数是1和2呢？不同了吧。
还不是一样展开，除少了第一项外，其他并没有什么不同。
如果开始的两个数相同，那么：m,m,2m,3m,...其实就是斐波那契数列，
只是每个数差个m倍而已，完全不影响连续两项之比的值。而且从第3项开始，a前的系数恰好构成斐波那契数列；
从第2项开始，b前的系数恰好构成斐波那契数列；
于是，由斐波那契数列通项公式有：
第n个数a前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}
第n个数b前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}
所以第n个数（n≥3）为：
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}*a+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}*b。

收起

我不知。。