由实数系的连续性,证明对于每一个正实数存在唯一的正平方根.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 06:26:40

由实数系的连续性,证明对于每一个正实数存在唯一的正平方根.
由实数系的连续性,证明对于每一个正实数存在唯一的正平方根.

由实数系的连续性,证明对于每一个正实数存在唯一的正平方根.
存在性:
若存在一个正实数,它没有正的平方根
也即:存在一个正实数a,对于任意x属于实数,x^2都不等于a
换句话说,在实数轴上,存在一个断点a,也即实数不连续了,
由实数系的连续性知,矛盾
唯一性:
若对于一个正实数a,存在2个以上的正平方根
不妨设为x1,x2,且x1>x2>0
所以x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2)>0
另一方面,由平方根定义知x1^2=x2^2=a,
x1^2-x2^2=0
矛盾
由此得到对于每一个正实数存在唯一的正平方根,得证

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