作业帮如何证明根号2不是有理数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:21:20
如何证明根号2不是有理数?
如何证明根号2不是有理数?
如何证明根号2不是有理数?
如果是有理数,刚可以表示为a/b（a,b均为整数且互质）
则a^2=2b^2
因为2b^2是偶数,所以a＾2是偶数,所以a是偶数
设a=2c
则4c^2＝2b^2
b^2=2c^2
所以b也是偶数
这和a,b互质矛盾.
所以,根号2是无理数.
如果是有理数，刚可以表示为a/b（a，b均为整数且互质）
则a^2=2b^2
因为2b^2是偶数，所以a＾2是偶数,所以a是偶数
设a=2c
则4c^2＝2b^2
b^2=2c^2
所以b也是偶数
这和a,b互质矛盾。
所以，根号2是无理数。
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高中书上有吧
无理数不能表示成分数的形式
是个无限不循环小数
如果是有理数，刚可以表示为a/b（a，b均为整数且互质）
则a^2=2b^2
因为2b^2是偶数，所以a＾2是偶数,所以a是偶数
设a=2c
则4c^2＝2b^2
b^2=2c^2
所以b也是偶数
这和a,b互质矛盾。
所以，根号2是无理数。
如果根号2是有理数，那么根号2=某个分数a/b。这个a,b可能都是2的倍数，那么可以把它约分，所以可以假设a，b不全是2的倍数。
于是2=a^2/b^2.即a^2=2b^2。可见a一定是偶数。设a=2x,其中x是整数。那么4x^2=2b^2,b^2=2x^2。可见b也是偶数。这与a，b不全是2的倍数矛盾！
所以假设不成立，即根号2不是有理数...
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如果根号2是有理数，那么根号2=某个分数a/b。这个a,b可能都是2的倍数，那么可以把它约分，所以可以假设a，b不全是2的倍数。
于是2=a^2/b^2.即a^2=2b^2。可见a一定是偶数。设a=2x,其中x是整数。那么4x^2=2b^2,b^2=2x^2。可见b也是偶数。这与a，b不全是2的倍数矛盾！
所以假设不成立，即根号2不是有理数
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如果是有理数则，存在p,q两个数，且p,q互素，满足
p/q=sqrt(2)
则
p^2/q^2=2
则p^2一定能是偶数，因此，p也一定是偶数
再则
q^2=p^2/2
因为p是偶数，所以 p^2/2也一定是偶数，
由此可得到 q^2是偶数，
那么q也一定是偶数。
也就是说p.q都是偶数，能被2整除，与前面的p,q互...
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如果是有理数则，存在p,q两个数，且p,q互素，满足
p/q=sqrt(2)
则
p^2/q^2=2
则p^2一定能是偶数，因此，p也一定是偶数
再则
q^2=p^2/2
因为p是偶数，所以 p^2/2也一定是偶数，
由此可得到 q^2是偶数，
那么q也一定是偶数。
也就是说p.q都是偶数，能被2整除，与前面的p,q互素相矛盾，
因此sqrt(2) 不是有理数
收起
用反证法
循环论证！