作业帮证明自然数立方的前N项和等于自然数前N项和的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 18:52:14
证明自然数立方的前N项和等于自然数前N项和的平方
证明自然数立方的前N项和等于自然数前N项和的平方
证明自然数立方的前N项和等于自然数前N项和的平方
有公式的1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2
用数学归纳法证明.
n=k+1时,Sk+1=Sk+a(k+1)=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3=(1/4)(k+1)^2(k+2)^2
证毕.
1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2
推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+...
全部展开
1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2
推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
收起