作业帮前两个数字和等于后一个数1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,.求前100个数之和?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 21:52:46
前两个数字和等于后一个数1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,.求前100个数之和?
前两个数字和等于后一个数1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,.求前100个数之和?
前两个数字和等于后一个数1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,.求前100个数之和?
这是“斐波那契数列”是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.
斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例.）【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列.
通项公式的推导方法：
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1,-rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1,-rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2
则F(n)=(√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
代入n=102,就有答案啦
=第102个数-1
{[(0.5+√5/2)^102-(0.5-√5/2)^102]/√5}-1