函数定义人教版所有的定义

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函数定义人教版
所有的定义

函数定义人教版所有的定义
【解释】函数的基本概念：一般地,在某一变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个X值,相应地就确定了唯一一个Y值与X对应,那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量,Y是因变量,也就是说Y是X的函数.当x=a时,函数的值叫做当x=a时的函数值.
[编辑本段]定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx （k为任意不为零实数）
或y=kx+b （k为任意不为零实数,b为任意实数）
则此时称y是x的一次函数.
特别的,当b=0时,y是x的正比例函数.正比例是Y=kx+b.
即：y=kx （k为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.
[编辑本段]一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0,且k,b为常数）
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距.
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)
形.取.象.交.减
4.正比例函数也是一次函数.
5.函数图像性质：当k相同,且b不相等,图像平行；当k不同,且b相等,图像相交；当k,b都相同时,两条线段重合.
[编辑本段]一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
（2）描点；
（3）连线,可以作出一次函数的图像——一条直线.因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可.（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b(k≠0).（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b),与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像都是过原点.
3．函数不是数,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系.
4．k,b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0,y与x成正比)
当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；
当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小.
y=kx+b时：
当 k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限.
当 k>0,bx2.故选A.
三、判断函数图象的位置
例3.一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
由kb>0,知k、b同号.因为y随x的增大而减小,所以kY2
当X

函数与图象
　　1．求函数自变量的取值范围的原则
　　（1）解析式是整式，自变量可以取一切实数.
　　（2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零.
　　（3）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量取值范围同时满足它们各自的条件.
　　（4）如果解析式是从实际问题得出的，自变量取值范围必须要具有实际意义.
　　2．函数的图象
　...

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函数与图象
　　1．求函数自变量的取值范围的原则
　　（1）解析式是整式，自变量可以取一切实数.
　　（2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零.
　　（3）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量取值范围同时满足它们各自的条件.
　　（4）如果解析式是从实际问题得出的，自变量取值范围必须要具有实际意义.
　　2．函数的图象
　　在直角坐标系内用自变量的值和对应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，描点，连线.反之，函数图象上的点的横坐标和纵坐标，就是函数中自变量的值和对应的函数值.
　　（一）一次函数
　　1．正比例函数的图象
　　正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线.
　　2．一次函数的图象.　
　　一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（ ，0）和（0，b）的一条直线. 　 　
　　（1）两个常用的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（ ，0）.
　　（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
　　3． 一次函数的性质
　　k>0时，y随x增大而增大 ；k<0时，y随x增大而减小 .
　　4．一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)中的k、b的符号很重要.
　　（1）由k的符号决定函数值y随自变量x的变化而变化，|k|越大，直线y=kx+b越靠近y轴，|k|越小，直线y=kx+b越远离y轴；b的符号决定函数图象与y轴交在正半轴还是负半轴.
　　（2）k、b的符号直接决定直线y=kx+b的位置.
　　k、b同正，过一、三、二象限；　k、b同负，过二、四、三象限； k正b负，过一、三、四象限；　 k负b正，过二、四、一象限.
　　5．求正比例函数和一次函数的解析式的方法是待定系数法，其步骤是：
　　①根据题中所给条件写出含有待定系数的解析式；
　　②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
　　③解方程（或组），得到待定系数的具体数值；
　　④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中.
　　6．求一次函数解析式的方法
　　主要有三种： 　　
　　一、是由已知函数推导或推证.　　
　　二、是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解
析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系.
　　三、是用待定系数法求函数解析式.
　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本部分构造方程一般有下列几种情况：
　　（1）根据一次函数的定义 ： 构造方程组. 　　
　　（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰好是函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来
　　定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向， 若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等.例如 y=2x,y=2x+3的图象平行.也就是说，一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b.　　 　
　　（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程. 　　
　　（4）利用题目已知条件直接构造方程.
　　7．求两个函数的图象交点的坐标，就是把两个函数的解析式组成方程组，求出方程组的解，即为交点坐标.
　　8．求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积，需首先求出这条直线与两坐标轴交点的坐标，再求出这两个交点到原点的距离，利用直角三角形面积公式求解.
　　9．求两个一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积，需首先求出这两条直线交点的坐标（作高），再求出这两个一次函数的图象与两坐标轴交点的坐标（作底），根据不同的情况利用三角形面积和求解.
　　10.一般情况下，一次函数没有最小值，图象是直线；但联系到一些具体问题时，因自变量的取值范围受限制，，使一次函数有了最大值或最小值，图象也成为射线或线段.
　　一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标.
　　（二）反比例函数及其图象
　　（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
　　（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
　　注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.
　　(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y= (k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.
　　5．反比例函数解析式的确定
　　在反比例函数y= (k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定. 所以只要将图象上一点的坐标代入y= 中即可求出k值.

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【解释】函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了唯一一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。当x=a时，函数的值叫做当x=a时的函数值。
[编辑本段]定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx （k为任意不为零实数）
或...

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【解释】函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了唯一一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。当x=a时，函数的值叫做当x=a时的函数值。
[编辑本段]定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx （k为任意不为零实数）
或y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数）
则此时称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。正比例是Y=kx+b。
即：y=kx （k为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
[编辑本段]一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)
形。取。象。交。减
4.正比例函数也是一次函数.
5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k，b都相同时，两条线段重合。
[编辑本段]一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比)
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
[编辑本段]确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
[编辑本段]一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
[编辑本段]常用公式
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
5.求个两一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)
k b
+ + 在一、二、三象限
+ - 在一、三、四象限
- + 在一、二、四象限
- - 在二、三、四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
10.左移X则B+X，右移X则B-X
11.上移Y则X项+Y，下移Y则X项-Y
(有个规律.b项的值等于k乘于上移的单位在减去原来的b项。）
（此处不全 愿有人补充）
[编辑本段]应用
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ，则当k<0时，y随x的增大而减小。
根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1 根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
例2
某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元，刻录X张
电脑公司：Y1=8X
学校 ：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1 【考点指要】
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例2.如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6
（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。
一次函数解析式的几种类型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）
解析式表达局限性：
①所需条件较多（3个）；
②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；
④参数较多，计算过于烦琐；
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)

收起